Kalkulator twierdzenia Pitagorasa

Oblicz dowolny bok trójkąta prostokątnego z twierdzenia Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa wiąże trzy boki trójkąta prostokątnego: a² + b² = c², gdzie c to przeciwprostokątna. Znając dwa boki, obliczysz trzeci. Ten kalkulator robi to natychmiast, niezależnie od tego, czy szukasz przeciwprostokątnej, czy przyprostokątnej, i podaje oprócz przybliżenia wynik dokładny (np. 5√2).

To jedno z najczęściej używanych twierdzeń: poznaje się je w 7. lub 8. klasie szkoły podstawowej, a korzysta się z niego w liceum i na studiach. Uczniowie sprawdzają zadania domowe, budowlańcy wyznaczają kąt prosty metodą 3-4-5 (trójkąt egipski), studenci fizyki dodają prostopadłe wektory. Narzędzie liczy też kąty, pole, obwód, wysokość, rzuty przyprostokątnych, promienie okręgów wpisanego i opisanego, rysuje trójkąt w skali i pokazuje rozwiązanie krok po kroku.

1. Wybierz niewiadomą

   Kliknij „Oblicz przeciwprostokątną c” (domyślnie), „Oblicz przyprostokątną a” lub „Oblicz przyprostokątną b”. Przyprostokątne a i b tworzą kąt prosty.

2. Wpisz dwie znane długości

   Uzupełnij dwa widoczne pola (Przyprostokątna a, Przyprostokątna b lub Przeciwprostokątna c); można wpisywać ułamki dziesiętne z przecinkiem lub kropką. Menu Jednostka dodaje wybraną jednostkę (mm, cm, m, stopy…) do wyników, a pole podaje w jednostkach kwadratowych (cm²).

3. Odczytaj wynik

   Brakujący bok pojawia się dużą czcionką, z wartością dokładną (np. √50 = 5√2), gdy kwadrat wyniku jest liczbą całkowitą, oraz z plakietką, gdy boki tworzą trójkę pitagorejską. Przycisk „Kopiuj” kopiuje wynik do schowka.

4. Sprawdź na rysunku i w krokach

   Trójkąt jest narysowany w skali, a obliczony bok zaznaczono linią przerywaną. Rozwiń „Rozwiązanie krok po kroku”, aby przepisać rozwiązanie: wzór, podstawienie, pierwiastkowanie i w razie potrzeby wyłączenie czynnika przed znak pierwiastka.

Wzór Pitagorasa i co oblicza narzędzie

W trójkącie prostokątnym kwadrat długości przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów długości przyprostokątnych: c² = a² + b². Dla przyprostokątnej wyznaczamy jej kwadrat: a = √(c² − b²). Z trzech boków wynikają wszystkie pozostałe wielkości:

• a i b: przyprostokątne, tworzące kąt prosty; c: przeciwprostokątna, najdłuższy bok, leżący naprzeciw kąta prostego.
• Kąty ostre: tg α = a / b i β = 90° − α, w stopniach (2 miejsca po przecinku) i radianach. Kąt α leży naprzeciw przyprostokątnej a.
• Pole i obwód: P = a × b / 2 (przyprostokątne są podstawą i wysokością) oraz Obw = a + b + c.
• Wysokość opuszczona na przeciwprostokątną: h = a × b / c, z dwóch wzorów na pole.
• Rzuty przyprostokątnych na przeciwprostokątną: a² / c i b² / c; ich iloczyn wynosi h² (dla 3, 4, 5: 1,8 × 3,2 = 5,76 = 2,4²).
• Okręgi: promień okręgu wpisanego r = (a + b − c) / 2; promień okręgu opisanego R = c / 2, bo przeciwprostokątna jest średnicą tego okręgu.

Gdy kwadrat wyniku jest liczbą całkowitą, ale nie kwadratem liczby całkowitej, narzędzie wyłącza przed znak pierwiastka największy czynnik będący kwadratem: √50 = √(25 × 2) = 5√2. Kwadrat szukanego boku jest liczony w dokładnej arytmetyce dziesiętnej, więc 0,3 i 0,4 dają dokładnie c = 0,5, bez błędów zaokrągleń.

Przykłady obliczeń z twierdzenia Pitagorasa

Do czego przydaje się twierdzenie Pitagorasa

• Budowa i majsterkowanie: reguła 3-4-5 sprawdza kąt prosty; po odmierzeniu 60 cm i 80 cm wzdłuż dwóch ścian przekątna musi mieć dokładnie 100 cm.
• Ekrany: telewizor z ekranem o wymiarach 120 × 67,5 cm ma przekątną 137,681698 cm, czyli około 54,21 cala (1 cal = 2,54 cm).
• Drabina przy ścianie: drabina o długości 5 m ustawiona 1,5 m od ściany sięga na wysokość √22,75 ≈ 4,769696 m.
• Podjazdy i dachy: podjazd o długości poziomej 6 m i różnicy wysokości 0,5 m ma 6,020797 m długości i kąt nachylenia 4,76°. Przy schodach kalkulator schodów poda też liczbę stopni i wymiar otworu.
• Układ współrzędnych i fizyka: punkty, których współrzędne różnią się o 3 na osi x i o 4 na osi y, dzieli odległość 5; prostopadłe siły 30 N i 40 N dają wypadkową 50 N.

Częste błędy

• Dodawanie długości zamiast kwadratów: c to nie a + b (3 + 4 = 7, a c = 5).
• Dodawanie zamiast odejmowania: dla przyprostokątnej liczymy c² − b². Jeśli wychodzi zero lub liczba ujemna, wpisana przeciwprostokątna jest za krótka.
• Mieszanie jednostek: przyprostokątne 1 m i 50 cm trzeba najpierw zamienić na 100 cm i 50 cm, co daje c = √12500 = 50√5 ≈ 111,803399 cm.
• Zbyt wczesne zaokrąglanie: 7,07² = 49,9849, a nie 50. Zachowaj dokładną wartość 5√2 do końca i dopiero wtedy zaokrąglij.

Wszystkie obliczenia odbywają się lokalnie w Twojej przeglądarce: żadne dane nie są wysyłane. Ograniczenia: długości od 10⁻¹⁰⁰ do 10¹⁰⁰, wyniki zaokrąglane do 6 miejsc po przecinku (kąty do 2), postać dokładna, gdy kwadrat wyniku jest liczbą całkowitą mniejszą niż 2⁵³. Gdy jeden bok jest dużo krótszy od drugiego, rysunek przestaje być w skali.