Calcolatore del teorema di Pitagora
Ipotenusa o cateto, forma esatta con radice, angoli, area e disegno.
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Calcolare un lato del triangolo rettangolo con il teorema di Pitagora
Il teorema di Pitagora lega i tre lati di un triangolo rettangolo: c² = a² + b², dove c è l’ipotenusa. Noti due lati, si ricava il terzo. Questo calcolatore lo fa all’istante, sia che cerchi l’ipotenusa sia un cateto, e fornisce il valore esatto (per esempio 5√2) oltre a quello approssimato.
È uno dei teoremi più usati, dalla seconda media fino all’università: studenti che controllano gli esercizi, muratori che squadrano un angolo con la regola 3-4-5, studenti di fisica che sommano vettori perpendicolari. Lo strumento aggiunge angoli, area, perimetro, altezza, proiezioni dei cateti, raggi delle circonferenze inscritta e circoscritta, un disegno in scala e lo svolgimento passo per passo.
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Scegli l’incognita
Clicca su «Trova l’ipotenusa c» (scelta predefinita), «Trova il cateto a» o «Trova il cateto b». I cateti a e b formano l’angolo retto.
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Inserisci le due lunghezze note
Compila i due campi visibili (Cateto a, Cateto b o Ipotenusa c); i decimali si scrivono con la virgola o con il punto. Il menu Unità aggiunge l’unità scelta (mm, cm, m, piedi…) ai risultati e l’area è espressa in unità quadrate (cm²).
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Leggi il risultato
Il lato mancante compare in grande, con il valore esatto (per esempio √50 = 5√2) quando il quadrato del risultato è intero, e un’etichetta se i tre lati formano una terna pitagorica. Il pulsante «Copia» manda il risultato negli appunti.
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Verifica con disegno e passaggi
Il triangolo è disegnato in scala, con il lato calcolato tratteggiato. Apri «Svolgimento passo per passo» per ricopiare la risoluzione: formula, sostituzione, radice quadrata e, se serve, trasporto fuori dal segno di radice.
La formula di Pitagora e cosa calcola lo strumento
In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti: c² = a² + b². Per un cateto si isola il suo quadrato: a = √(c² − b²). Dai tre lati si ricavano tutte le altre misure:
- a e b: i cateti, che formano l’angolo retto; c: l’ipotenusa, il lato più lungo, opposto all’angolo retto.
- Angoli acuti:
tan α = a / beβ = 90° − α, in gradi (2 decimali) e in radianti. α è l’angolo opposto al cateto a. - Area e perimetro:
A = a × b / 2(i cateti fanno da base e altezza) e2p = a + b + c. - Altezza relativa all’ipotenusa:
h = a × b / c, scrivendo l’area in due modi. - Proiezioni dei cateti sull’ipotenusa:
a² / ceb² / c(primo teorema di Euclide); per il secondo teorema di Euclide il loro prodotto èh²(per 3, 4, 5: 1,8 × 3,2 = 5,76 = 2,4²). - Circonferenze: raggio della circonferenza inscritta
r = (a + b − c) / 2; raggio della circoscrittaR = c / 2, perché l’ipotenusa è un diametro della circonferenza circoscritta.
Quando il quadrato del risultato è un intero che non è un quadrato perfetto, lo strumento porta fuori dalla radice il fattore quadrato più grande: √50 = √(25 × 2) = 5√2. Il quadrato del lato cercato è calcolato con un’aritmetica decimale esatta, quindi 0,3 e 0,4 danno esattamente c = 0,5, senza errori di arrotondamento.
Esempi svolti con il teorema di Pitagora
| Incognita | Dati | Risultato dello strumento | Da ricordare |
|---|---|---|---|
| c | a = 3, b = 4 | c = 5 | terna primitiva (3, 4, 5), area 6, α ≈ 36,87° |
| c | a = 5, b = 12 | c = 13 | terna primitiva, altezza h ≈ 4,615385 |
| c | a = 1, b = 1 | c = √2 ≈ 1,414214 | triangolo rettangolo isoscele (metà di un quadrato): α = β = 45° |
| c | a = 5, b = 5 | c = √50 = 5√2 ≈ 7,071068 | area 12,5 |
| b | c = 10, a = 6 | b = 8 | (6, 8, 10) = 2 × (3, 4, 5), non primitiva |
| b | c = 2, a = 1 | b = √3 ≈ 1,732051 | metà di un triangolo equilatero: α = 30°, β = 60° |
A cosa serve il teorema di Pitagora
- Edilizia e fai da te: la regola 3-4-5 verifica un angolo retto; segnando 60 cm e 80 cm su due pareti, la diagonale deve misurare esattamente 100 cm.
- Schermi: un televisore con un pannello da 120 × 67,5 cm ha una diagonale di 137,681698 cm, circa 54,21 pollici (1 pollice = 2,54 cm).
- Scale a pioli: una scala di 5 m con il piede a 1,5 m dal muro arriva a √22,75 ≈ 4,769696 m di altezza.
- Rampe e tetti: una rampa lunga 6 m in orizzontale con 0,5 m di dislivello misura 6,020797 m, con un’inclinazione di 4,76°. Per una scala, il calcolo scale indica anche il numero di gradini e il foro nel solaio.
- Coordinate e fisica: due punti le cui coordinate differiscono di 3 sull’asse x e di 4 sull’asse y sono a distanza 5; due forze perpendicolari di 30 N e 40 N hanno risultante 50 N.
Errori frequenti
- Sommare le lunghezze invece dei quadrati: c non è a + b (3 + 4 = 7, ma c = 5).
- Sommare quando bisogna sottrarre: per un cateto si calcola
c² − b². Se il risultato è zero o negativo, l’ipotenusa inserita è troppo corta. - Mescolare le unità: cateti di 1 m e 50 cm vanno prima convertiti in 100 cm e 50 cm, da cui c = √12500 = 50√5 ≈ 111,803399 cm.
- Arrotondare troppo presto: 7,07² = 49,9849 e non 50. Tieni il valore esatto 5√2 fino alla fine, poi arrotonda.
Tutti i calcoli avvengono localmente nel tuo browser: nessun dato viene inviato. Limiti: lunghezze tra 10⁻¹⁰⁰ e 10¹⁰⁰, risultati arrotondati a 6 decimali (angoli a 2), forma esatta quando il quadrato del risultato è un intero minore di 2⁵³. Il disegno non è più in scala quando un lato è molto più corto dell’altro.
Domande frequenti
Qual è la formula del teorema di Pitagora?
In un triangolo rettangolo di cateti a e b e ipotenusa c vale c² = a² + b². Con a = 3 e b = 4: c² = 9 + 16 = 25, quindi c = √25 = 5. L’ipotenusa è sempre il lato opposto all’angolo retto e il più lungo dei tre.
Come si calcola un cateto?
Si isola il suo quadrato: b² = c² − a², poi b = √(c² − a²). Con c = 10 e a = 6: b² = 100 − 36 = 64, quindi b = 8. L’ipotenusa deve essere strettamente maggiore del cateto noto: con c = 5 e a = 5 il triangolo non esiste e lo strumento segnala un errore.
Perché compare √50 = 5√2?
È il valore esatto, quello richiesto nelle verifiche. Per a = b = 5, c² = 50 = 25 × 2, quindi c = √25 × √2 = 5√2 ≈ 7,071068 (trasporto fuori dal segno di radice). Il radicale esatto compare quando il quadrato del risultato è un intero che non è un quadrato perfetto (√2, √3, 5√2…); il decimale è solo un arrotondamento.
Cos’è una terna pitagorica?
Tre numeri naturali che soddisfano a² + b² = c², come (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17) o (7, 24, 25). Una terna è primitiva se i tre numeri non hanno divisori comuni oltre a 1 (MCD = 1): (6, 8, 10) = 2 × (3, 4, 5) non lo è. La formula di Euclide (m² − n², 2mn, m² + n²), con m > n > 0 interi, ne genera quante se ne vuole: m = 3 e n = 2 danno (5, 12, 13).
Come capire se un triangolo è rettangolo?
Con il teorema inverso di Pitagora: si confronta il quadrato del lato maggiore con la somma dei quadrati degli altri due. Per 5, 12, 13: 25 + 144 = 169 = 13², il triangolo è rettangolo. Per 4, 5, 6: 16 + 25 = 41 ≠ 36, non lo è (e poiché 36 < 41 è acutangolo).
Come vengono calcolati angoli e altezza?
Con la trigonometria: tan α = a / b, poi β = 90° − α. Per 3, 4, 5: α = arctan(0,75) ≈ 36,87° e β ≈ 53,13°. L’altezza relativa all’ipotenusa si ricava scrivendo l’area in due modi (a × b = c × h), cioè h = 12 / 5 = 2,4; per il secondo teorema di Euclide vale anche h² = 1,8 × 3,2.