Stelling van Pythagoras berekenen
Schuine zijde of rechthoekszijde, exacte wortelvorm, hoeken en tekening.
- Direct
- Gratis
- Privé (lokaal verwerkt)
- Zonder registratie
Elke zijde van een rechthoekige driehoek berekenen met de stelling van Pythagoras
De stelling van Pythagoras verbindt de drie zijden van een rechthoekige driehoek: a² + b² = c², waarbij c de schuine zijde is. Ken je twee zijden, dan vind je de derde. Deze rekenmachine doet dat direct, of je nu de schuine zijde of een rechthoekszijde zoekt, en geeft naast de afgeronde waarde ook de exacte waarde (zoals 5√2).
Het is een van de meest gebruikte stellingen, van de tweede klas van havo en vwo tot in het hoger onderwijs: leerlingen die hun huiswerk nakijken, vakmensen die met de 3-4-5-regel een haakse hoek uitzetten, natuurkundestudenten die loodrechte vectoren optellen. De tool berekent ook de hoeken, oppervlakte, omtrek, hoogte, projecties en de stralen van de ingeschreven en omgeschreven cirkel, tekent de driehoek op schaal en toont de uitwerking stap voor stap.
-
Kies de onbekende
Klik op “Schuine zijde c berekenen” (standaard), “Zijde a berekenen” of “Zijde b berekenen”. De rechthoekszijden a en b vormen de rechte hoek.
-
Vul de twee bekende lengtes in
Vul de twee zichtbare velden in (Rechthoekszijde a, Rechthoekszijde b of Schuine zijde c); kommagetallen mogen, met een komma of een punt. Het menu Eenheid zet de gekozen eenheid (cm, m, voet…) achter de uitkomsten en geeft de oppervlakte in vierkante eenheden (cm²).
-
Lees de uitkomst
De ontbrekende zijde verschijnt groot, met de exacte waarde (zoals √50 = 5√2) als het kwadraat van de uitkomst een geheel getal is, en een label als de drie zijden een Pythagorees drietal vormen. De knop “Kopiëren” zet de uitkomst op het klembord.
-
Controleer met tekening en uitwerking
De driehoek staat op schaal, met de berekende zijde gestippeld. Open “Uitwerking stap voor stap” om de berekening over te nemen: formule, invullen, worteltrekken en zo nodig de wortel vereenvoudigen.
De formule van Pythagoras en wat de tool berekent
In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de schuine zijde gelijk aan de som van de kwadraten van de rechthoekszijden: c² = a² + b². Voor een rechthoekszijde maak je het kwadraat vrij: a = √(c² − b²). Uit de drie zijden volgen alle andere maten:
- a en b: de rechthoekszijden, die de rechte hoek vormen; c: de schuine zijde (hypotenusa), de langste zijde, tegenover de rechte hoek.
- Scherpe hoeken:
tan α = a / benβ = 90° − α, in graden (2 decimalen) en radialen. α ligt tegenover zijde a. - Oppervlakte en omtrek:
O = a × b / 2(de rechthoekszijden zijn basis en hoogte) enomtrek = a + b + c. - Hoogte op de schuine zijde:
h = a × b / c, door de oppervlakte op twee manieren te schrijven. - Projecties op de schuine zijde:
a² / cenb² / c; hun product ish²(bij 3, 4, 5: 1,8 × 3,2 = 5,76 = 2,4²). - Cirkels: straal van de ingeschreven cirkel
r = (a + b − c) / 2; straal van de omgeschreven cirkelR = c / 2, omdat de schuine zijde een middellijn is (cirkel van Thales).
Is het kwadraat van de uitkomst een geheel getal maar geen kwadraat, dan vereenvoudigt de tool de wortel door de grootste kwadraatfactor buiten de wortel te brengen: √50 = √(25 × 2) = 5√2. Het kwadraat van de gezochte zijde wordt exact decimaal berekend, dus 0,3 en 0,4 geven precies c = 0,5, zonder afrondingsfouten.
Rekenvoorbeelden met de stelling van Pythagoras
| Gezocht | Gegeven | Uitkomst van de tool | Om te onthouden |
|---|---|---|---|
| c | a = 3, b = 4 | c = 5 | primitief drietal (3, 4, 5), oppervlakte 6, α ≈ 36,87° |
| c | a = 5, b = 12 | c = 13 | primitief drietal, hoogte h ≈ 4,615385 |
| c | a = 1, b = 1 | c = √2 ≈ 1,414214 | gelijkbenige rechthoekige driehoek (half vierkant): α = β = 45° |
| c | a = 5, b = 5 | c = √50 = 5√2 ≈ 7,071068 | oppervlakte 12,5 |
| b | c = 10, a = 6 | b = 8 | (6, 8, 10) = 2 × (3, 4, 5), niet primitief |
| b | c = 2, a = 1 | b = √3 ≈ 1,732051 | halve gelijkzijdige driehoek: α = 30°, β = 60° |
Waar gebruik je de stelling van Pythagoras?
- Bouw en klussen: de 3-4-5-regel controleert een haakse hoek; zet je 60 cm en 80 cm uit langs twee muren, dan moet de diagonaal precies 100 cm zijn.
- Beeldschermen: een tv met een scherm van 120 × 67,5 cm heeft een diagonaal van 137,681698 cm, ongeveer 54,21 inch (1 inch = 2,54 cm).
- Ladders: een ladder van 5 m met de voet 1,5 m van de muur reikt tot √22,75 ≈ 4,769696 m hoogte.
- Hellingbanen en daken: een hellingbaan van 6 m horizontaal met 0,5 m hoogteverschil is 6,020797 m lang, met een hellingshoek van 4,76°. Voor een trap geeft de trapcalculator ook het aantal treden en het trapgat.
- Coördinaten en natuurkunde: twee punten waarvan de coördinaten 3 in x-richting en 4 in y-richting verschillen, liggen 5 eenheden uit elkaar; loodrechte krachten van 30 N en 40 N geven een resultante van 50 N.
Veelgemaakte fouten
- De lengtes optellen in plaats van de kwadraten: c is niet a + b (3 + 4 = 7, maar c = 5).
- Optellen waar je moet aftrekken: voor een rechthoekszijde reken je
c² − b². Is dat nul of negatief, dan is de ingevulde schuine zijde te kort. - Eenheden door elkaar gebruiken: rechthoekszijden van 1 m en 50 cm reken je eerst om naar 100 cm en 50 cm, wat c = √12500 = 50√5 ≈ 111,803399 cm oplevert.
- Te vroeg afronden: 7,07² = 49,9849 en niet 50. Houd de exacte waarde 5√2 tot het eind aan en rond pas daarna af.
Alle berekeningen gebeuren lokaal in je browser: er worden geen gegevens verstuurd. Beperkingen: lengtes tussen 10⁻¹⁰⁰ en 10¹⁰⁰, uitkomsten afgerond op 6 decimalen (hoeken op 2), exacte wortelvorm als het kwadraat van de uitkomst een geheel getal kleiner dan 2⁵³ is. Is de ene zijde veel korter dan de andere, dan is de tekening niet meer op schaal.
Veelgestelde vragen
Wat is de formule van de stelling van Pythagoras?
In een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden a en b en schuine zijde c geldt a² + b² = c². Met a = 3 en b = 4: c² = 9 + 16 = 25, dus c = √25 = 5. De schuine zijde ligt altijd tegenover de rechte hoek en is de langste zijde.
Hoe bereken ik een rechthoekszijde?
Maak het kwadraat vrij: b² = c² − a², en dan b = √(c² − a²). Met c = 10 en a = 6: b² = 100 − 36 = 64, dus b = 8. De schuine zijde moet strikt langer zijn dan de bekende zijde: bij c = 5 en a = 5 bestaat er geen driehoek en geeft de tool een foutmelding.
Waarom toont de tool √50 = 5√2?
Dat is de exacte waarde, zoals je die op een toets opschrijft. Bij a = b = 5 is c² = 50 = 25 × 2, dus c = √25 × √2 = 5√2 ≈ 7,071068. De exacte wortelvorm verschijnt zodra het kwadraat van de uitkomst een geheel getal is dat geen kwadraat is (√2, √3, 5√2…); het decimale getal is alleen een afgeronde waarde.
Wat is een Pythagorees drietal?
Drie positieve gehele getallen met a² + b² = c², zoals (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17) of (7, 24, 25). Een drietal is primitief als de drie getallen geen gemeenschappelijke deler groter dan 1 hebben (GGD = 1): (6, 8, 10) = 2 × (3, 4, 5) is dat niet. De formule van Euclides (m² − n², 2mn, m² + n²) levert met gehele getallen m > n > 0 zoveel drietallen als je wilt: m = 3 en n = 2 geven (5, 12, 13).
Hoe controleer ik of een driehoek rechthoekig is?
Met de omgekeerde stelling van Pythagoras: vergelijk het kwadraat van de langste zijde met de som van de kwadraten van de andere twee. Bij 5, 12, 13: 25 + 144 = 169 = 13², dus rechthoekig. Bij 4, 5, 6: 16 + 25 = 41 ≠ 36, dus niet rechthoekig (en omdat 36 < 41 is hij scherphoekig).
Hoe worden de hoeken en de hoogte berekend?
Met goniometrie: tan α = a / b, daarna β = 90° − α. Bij 3, 4, 5: α = arctan(0,75) ≈ 36,87° en β ≈ 53,13°. De hoogte op de schuine zijde volgt uit de oppervlakte, op twee manieren geschreven (a × b = c × h), dus h = 12 / 5 = 2,4.