三平方の定理で直角三角形の辺の長さを求める
三平方の定理（ピタゴラスの定理）は、直角三角形の3辺の関係 a² + b² = c² を表します（c は斜辺）。2辺がわかれば残りの1辺が求まります。この計算ツールは斜辺でも斜辺以外の辺でも一瞬で計算し、近似値だけでなく 5√2 のような根号を含む厳密な値も表示します。
中学3年で学ぶこの定理は、高校数学の三角比やベクトル、さらに大学の物理まで使い続けます。宿題の答え合わせをする生徒、3・4・5 の比で直角を出す大工さん、垂直な力の合成を計算する学生など、利用場面はさまざまです。ツールは角度、面積、周の長さ、高さ、正射影、内接円・外接円の半径、縮尺どおりの図、途中式もあわせて表示します。
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求める辺を選ぶ
「斜辺 c を求める」（初期設定）、「辺 a を求める」、「辺 b を求める」のいずれかをクリックします。辺 a と辺 b が直角をはさむ辺です。
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わかっている2辺を入力する
表示された2つの欄（辺 a、辺 b、斜辺 c のうち2つ）に長さを入力します。小数も使えます。「単位」で cm や m などを選ぶと結果に単位が付き、面積は cm² のような平方単位になります。
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結果を読む
求めた辺が大きく表示されます。結果の2乗が整数なら √50 = 5√2 のような厳密な値も表示し、3辺がピタゴラス数ならバッジが出ます。「コピー」ボタンで結果をクリップボードにコピーできます。
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図と途中式で確かめる
三角形は縮尺どおりに描かれ、求めた辺は破線になります。「途中式（ステップごとの解説）」を開くと、公式、代入、平方根、必要なら根号の簡単化の順に解き方を確認できます。
三平方の定理の公式とツールが計算する値
直角三角形では、斜辺の2乗は他の2辺の2乗の和に等しくなります：c² = a² + b²。斜辺以外の辺は2乗について解き、a = √(c² − b²) で求めます。3辺がそろえば、次の値もすべて決まります。
- a と b：直角をはさむ2辺。c：斜辺。直角の向かい側にある最も長い辺です。
- 鋭角：
tan α = a / b、β = 90° − α。度（小数第2位まで）とラジアンで表示します。α は辺 a の対角です。 - 面積と周の長さ：
S = a × b / 2（直角をはさむ2辺が底辺と高さ）、周 = a + b + c。 - 斜辺への高さ：面積を2通りに表して
h = a × b / c。 - 斜辺への正射影：
a² / cとb² / c。この2つの積はh²に等しくなります（3、4、5 なら 1.8 × 3.2 = 5.76 = 2.4²）。 - 円：内接円の半径
r = (a + b − c) / 2、外接円の半径R = c / 2（斜辺が外接円の直径になるため）。
結果の2乗が平方数でない整数のときは、いちばん大きい平方数を根号の外に出して簡単にします：√50 = √(25 × 2) = 5√2。三角定規の比 1 : 1 : √2 と 1 : 2 : √3 もそのまま確かめられます。求める辺の2乗は10進数の厳密な演算で計算するので、0.3 と 0.4 からはちょうど c = 0.5 が得られます。
三平方の定理の計算例
| 求める辺 | 入力 | ツールの結果 | ポイント |
|---|---|---|---|
| c | a = 3, b = 4 | c = 5 | 原始ピタゴラス数 (3, 4, 5)、面積 6、α ≈ 36.87° |
| c | a = 5, b = 12 | c = 13 | 原始ピタゴラス数、高さ h ≈ 4.615385 |
| c | a = 1, b = 1 | c = √2 ≈ 1.414214 | 直角二等辺三角形：α = β = 45° |
| c | a = 5, b = 5 | c = √50 = 5√2 ≈ 7.071068 | 面積 12.5 |
| b | c = 10, a = 6 | b = 8 | (6, 8, 10) = 2 × (3, 4, 5)、原始的でない |
| b | c = 2, a = 1 | b = √3 ≈ 1.732051 | 1 : 2 : √3 の三角定規：α = 30°、β = 60° |
三平方の定理が役立つ場面
- 建築・DIY：3・4・5 の比で直角を確認できます。2つの壁に 60 cm と 80 cm の印を付けると、対角線はちょうど 100 cm になるはずです。
- 画面サイズ：画面部分が 120 × 67.5 cm のテレビの対角線は 137.681698 cm、約 54.21 インチです（1 インチ = 2.54 cm）。
- はしご：長さ 5 m のはしごを壁から 1.5 m 離して立てると、届く高さは √22.75 ≈ 4.769696 m です。
- スロープ・屋根：水平距離 6 m、高低差 0.5 m のスロープの長さは 6.020797 m、傾斜角は 4.76° です。 階段なら、階段計算ツールで段数や吹き抜け開口もわかります。
- 座標・物理：x 方向に 3、y 方向に 4 離れた2点の距離は 5（2点間の距離の公式）。直交する 30 N と 40 N の力の合力は 50 N です。
よくある間違い
- 2乗せずに長さを足してしまう：c は a + b ではありません（3 + 4 = 7 ですが c = 5）。
- 引くべきところで足してしまう：斜辺以外の辺は
c² − b²で求めます。0 以下になる場合は、入力した斜辺が短すぎます。 - 単位をそろえない：直角をはさむ2辺が 1 m と 50 cm なら 100 cm と 50 cm にそろえてから計算し、c = √12500 = 50√5 ≈ 111.803399 cm となります。
- 途中で四捨五入する：7.07² = 49.9849 で 50 にはなりません。最後まで 5√2 のまま計算し、最後に丸めましょう。
計算はすべてお使いのブラウザ内で行われ、データは一切送信されません。制限：長さは 10⁻¹⁰⁰ から 10¹⁰⁰ まで、結果は小数第6位（角度は第2位）までに四捨五入、厳密な値は結果の2乗が 2⁵³ 未満の整数のときに表示します。一方の辺が他方よりはるかに短い場合、図は縮尺どおりではなくなります。
よくある質問
三平方の定理の公式は？
直角をはさむ2辺を a、b、斜辺を c とする直角三角形では a² + b² = c² が成り立ちます。a = 3、b = 4 なら c² = 9 + 16 = 25 なので c = √25 = 5 です。斜辺はつねに直角の向かい側にあり、3辺のうちで最も長い辺です。
斜辺以外の辺の長さはどう求める？
求める辺の2乗について解きます：b² = c² − a²、つまり b = √(c² − a²)。c = 10、a = 6 なら b² = 100 − 36 = 64 なので b = 8 です。斜辺は既知の辺より長くなければならず、c = 5、a = 5 のような三角形は存在しないため、ツールはエラーを表示します。
なぜ √50 = 5√2 と表示されるの？
テストで求められる「根号を含む厳密な値」だからです。a = b = 5 のとき c² = 50 = 25 × 2 なので、c = √25 × √2 = 5√2 ≈ 7.071068 となります。結果の2乗が平方数でない整数のとき（√2、√3、5√2 など）に、根号を使った厳密な値を表示します。小数は四捨五入した近似値です。
ピタゴラス数とは？
a² + b² = c² を満たす3つの自然数の組で、(3, 4, 5)、(5, 12, 13)、(8, 15, 17)、(7, 24, 25) などがあります。3つの数の最大公約数が1なら原始ピタゴラス数といい、(6, 8, 10) = 2 × (3, 4, 5) は原始的ではありません。m > n > 0 を満たす整数 m、n を使った m² − n²、2mn、m² + n² の式（ユークリッドの公式）でいくらでも作れ、m = 3、n = 2 なら (5, 12, 13) です。
直角三角形かどうかを確かめるには？
三平方の定理の逆を使い、最も長い辺の2乗と、残り2辺の2乗の和を比べます。5、12、13 なら 25 + 144 = 169 = 13² なので直角三角形です。4、5、6 なら 16 + 25 = 41 ≠ 36 なので直角三角形ではありません（36 < 41 なので鋭角三角形）。
角度や高さはどう計算している？
三角比を使います：tan α = a / b、β = 90° − α。3、4、5 なら α = arctan(0.75) ≈ 36.87°、β ≈ 53.13° です。斜辺への高さは面積を2通りに表して（a × b = c × h）、h = 12 / 5 = 2.4 と求めます。