Satz des Pythagoras Rechner

Jede Seite im rechtwinkligen Dreieck mit dem Satz des Pythagoras berechnen

Der Satz des Pythagoras verbindet die drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks: a² + b² = c², wobei c die Hypotenuse ist. Kennt man zwei Seiten, folgt die dritte. Dieser Rechner erledigt das sofort, ob Sie die Hypotenuse oder eine Kathete suchen, und liefert neben dem Näherungswert den exakten Wert (etwa 5√2).

Kaum ein Satz wird so oft gebraucht, von der 8. oder 9. Klasse bis ins Studium: Schülerinnen und Schüler kontrollieren ihre Hausaufgaben, Handwerker prüfen mit der 3-4-5-Regel einen rechten Winkel, Physikstudierende addieren senkrechte Vektoren. Das Tool berechnet zusätzlich Winkel, Fläche, Umfang, Höhe, Hypotenusenabschnitte, In- und Umkreisradius, zeichnet eine maßstabsgetreue Skizze und zeigt den Rechenweg.

1. Unbekannte wählen

   Klicken Sie auf „Hypotenuse c berechnen“ (Standard), „Kathete a berechnen“ oder „Kathete b berechnen“. Die Katheten a und b bilden den rechten Winkel.

2. Die zwei bekannten Längen eingeben

   Füllen Sie die beiden sichtbaren Felder aus (Kathete a, Kathete b oder Hypotenuse c); Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt sind erlaubt. Das Menü Einheit hängt die gewählte Einheit (cm, m, Fuß…) an die Ergebnisse, die Fläche erscheint in Quadrateinheiten (cm²).

3. Ergebnis ablesen

   Die fehlende Seite erscheint groß, bei ganzzahligem Quadrat des Ergebnisses mit exaktem Wert (etwa √50 = 5√2) und mit einem Hinweis, wenn die drei Seiten ein pythagoreisches Tripel bilden. „Kopieren“ legt das Ergebnis in die Zwischenablage.

4. Mit Skizze und Rechenweg prüfen

   Das Dreieck wird maßstabsgetreu gezeichnet, die berechnete Seite gestrichelt. Öffnen Sie „Rechenweg Schritt für Schritt“: Formel, Einsetzen, Wurzelziehen und gegebenenfalls teilweises Wurzelziehen.

Die Formel und was das Tool daraus berechnet

Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate über den Katheten: c² = a² + b². Für eine Kathete stellt man um: a = √(c² − b²). Aus den drei Seiten folgen alle weiteren Größen:

• a und b: die Katheten, sie bilden den rechten Winkel; c: die Hypotenuse, die längste Seite, gegenüber dem rechten Winkel.
• Spitze Winkel: tan α = a / b und β = 90° − α, in Grad (2 Nachkommastellen) und im Bogenmaß. α liegt der Kathete a gegenüber.
• Fläche und Umfang: A = a × b / 2 (die Katheten sind Grundseite und Höhe) und u = a + b + c.
• Höhe auf die Hypotenuse: h = a × b / c, aus der zweifach geschriebenen Fläche.
• Hypotenusenabschnitte: p = a² / c und q = b² / c (Kathetensatz a² = c × p); der Höhensatz sagt h² = p × q (für 3, 4, 5: 1,8 × 3,2 = 5,76 = 2,4²).
• Kreise: Inkreisradius r = (a + b − c) / 2; Umkreisradius R = c / 2, denn die Hypotenuse ist Durchmesser des Thaleskreises.

Ist das Quadrat des Ergebnisses ganzzahlig, aber keine Quadratzahl, zieht das Tool die Wurzel teilweise: √50 = √(25 × 2) = 5√2. Das Quadrat der gesuchten Seite wird mit exakter Dezimalarithmetik berechnet, daher ergeben 0,3 und 0,4 genau c = 0,5, ohne Rundungsfehler.

Rechenbeispiele zum Satz des Pythagoras

Wofür man den Satz des Pythagoras braucht

• Bau und Heimwerken: Die 3-4-5-Regel prüft einen rechten Winkel; misst man 60 cm und 80 cm an zwei Wänden ab, muss die Diagonale genau 100 cm lang sein.
• Bildschirme: Ein Fernseher mit einem 120 × 67,5 cm großen Panel hat eine Diagonale von 137,681698 cm, also rund 54,21 Zoll (1 Zoll = 2,54 cm).
• Leitern: Eine 5 m lange Leiter, deren Fuß 1,5 m von der Wand entfernt steht, reicht √22,75 ≈ 4,769696 m hoch.
• Rampen und Dächer: Eine Rampe mit 6 m waagerechter Länge und 0,5 m Höhenunterschied ist 6,020797 m lang, Steigungswinkel 4,76°. Für eine Treppe liefert der Treppenrechner zusätzlich Stufenzahl und Deckenöffnung.
• Koordinaten und Physik: Zwei Punkte, deren Koordinaten sich um 3 in x-Richtung und um 4 in y-Richtung unterscheiden, liegen 5 Einheiten auseinander; senkrechte Kräfte von 30 N und 40 N ergeben eine Resultierende von 50 N.

Häufige Fehler

• Längen statt Quadrate addieren: c ist nicht a + b (3 + 4 = 7, aber c = 5).
• Addieren statt subtrahieren: Für eine Kathete rechnet man c² − b². Ist das null oder negativ, ist die eingegebene Hypotenuse zu kurz.
• Einheiten mischen: Katheten von 1 m und 50 cm müssen erst in 100 cm und 50 cm umgerechnet werden, das ergibt c = √12500 = 50√5 ≈ 111,803399 cm.
• Zu früh runden: 7,07² = 49,9849 und nicht 50. Behalten Sie den exakten Wert 5√2 bis zum Schluss und runden Sie erst dann.

Alle Berechnungen laufen lokal in Ihrem Browser, es werden keine Daten übertragen. Grenzen: Längen zwischen 10⁻¹⁰⁰ und 10¹⁰⁰, Ergebnisse auf 6 Nachkommastellen gerundet (Winkel auf 2), exakte Wurzelform, wenn das Quadrat des Ergebnisses eine ganze Zahl unter 2⁵³ ist. Ist eine Seite viel kürzer als die andere, ist die Skizze nicht mehr maßstabsgetreu.