Калькулятор теоремы Пифагора онлайн

Как найти сторону прямоугольного треугольника по теореме Пифагора

Теорема Пифагора связывает три стороны прямоугольного треугольника: c² = a² + b², где c обозначает гипотенузу. Зная две стороны, можно найти третью. Калькулятор делает это мгновенно, ищете ли вы гипотенузу или катет, и показывает не только приближённое, но и точное значение (например, 5√2).

Теорему проходят в 8 классе на уроках геометрии, а пользуются ею всю жизнь: школьники проверяют домашнее задание, строители выставляют прямой угол по «египетскому треугольнику» 3-4-5, студенты складывают перпендикулярные векторы. Инструмент также вычисляет углы, площадь, периметр, высоту, проекции катетов, радиусы вписанной и описанной окружностей, строит чертёж в масштабе и показывает решение по шагам.

1. Выберите неизвестное

   Нажмите «Найти гипотенузу c» (по умолчанию), «Найти катет a» или «Найти катет b». Катеты a и b образуют прямой угол.

2. Введите две известные длины

   Заполните два видимых поля (Катет a, Катет b или Гипотенуза c); дробную часть можно отделять запятой или точкой. В списке «Единица измерения» выберите мм, см, м и т. д.: единица появится в ответах, а площадь будет указана в квадратных единицах (см²).

3. Прочитайте ответ

   Найденная сторона показана крупно; если квадрат результата целый, рядом выводится точный ответ с корнем (например, √50 = 5√2), а если стороны образуют пифагорову тройку, появляется значок. Кнопка «Копировать» отправит ответ в буфер обмена.

4. Проверьте по чертежу и шагам

   Треугольник нарисован в масштабе, найденная сторона показана пунктиром. Раскройте «Подробное решение по шагам», чтобы переписать решение: формула, подстановка, извлечение корня и при необходимости вынесение множителя из-под знака корня.

Формула Пифагора и что считает инструмент

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: c² = a² + b². Для катета выражаем его квадрат: a = √(c² − b²). По трём сторонам находятся все остальные элементы:

• a и b: катеты, образующие прямой угол; c: гипотенуза, самая длинная сторона, лежащая напротив прямого угла.
• Острые углы: tg α = a / b и β = 90° − α, в градусах (2 знака после запятой) и радианах. Угол α лежит напротив катета a.
• Площадь и периметр: S = a × b / 2 (катеты служат основанием и высотой) и P = a + b + c.
• Высота, опущенная на гипотенузу: h = a × b / c, из двух записей площади.
• Проекции катетов на гипотенузу: ac = a² / c и bc = b² / c; высота есть среднее пропорциональное между ними: h² = ac × bc (для 3, 4, 5: 1,8 × 3,2 = 5,76 = 2,4²).
• Окружности: радиус вписанной r = (a + b − c) / 2; радиус описанной R = c / 2, так как гипотенуза является диаметром описанной окружности.

Если квадрат результата является целым числом, но не точным квадратом, инструмент выносит множитель из-под знака корня: √50 = √(25 × 2) = 5√2. Квадрат искомой стороны вычисляется в точной десятичной арифметике, поэтому 0,3 и 0,4 дают ровно c = 0,5 без ошибок округления.

Примеры решения по теореме Пифагора

Где применяется теорема Пифагора

• Стройка и ремонт: правило 3-4-5 проверяет прямой угол; если отложить 60 см и 80 см вдоль двух стен, диагональ должна быть ровно 100 см.
• Экраны: у телевизора с экраном 120 × 67,5 см диагональ 137,681698 см, то есть около 54,21 дюйма (1 дюйм = 2,54 см).
• Лестница у стены: приставная лестница длиной 5 м, нижний конец которой стоит в 1,5 м от стены, достаёт до высоты √22,75 ≈ 4,769696 м.
• Пандусы и крыши: пандус с горизонтальной проекцией 6 м и перепадом высот 0,5 м имеет длину 6,020797 м и угол наклона 4,76°. Для лестницы калькулятор лестницы также покажет число ступеней и размер проёма.
• Координаты и физика: точки, координаты которых отличаются на 3 по оси x и на 4 по оси y, находятся на расстоянии 5; перпендикулярные силы 30 Н и 40 Н дают равнодействующую 50 Н.

Типичные ошибки

• Складывать длины вместо квадратов: c не равно a + b (3 + 4 = 7, а c = 5).
• Складывать вместо вычитания: для катета считают c² − b². Если получилось ноль или отрицательное число, введённая гипотенуза слишком короткая.
• Смешивать единицы: катеты 1 м и 50 см нужно сначала перевести в 100 см и 50 см, тогда c = √12500 = 50√5 ≈ 111,803399 см.
• Округлять слишком рано: 7,07² = 49,9849, а не 50. Держите точное значение 5√2 до конца и округляйте только ответ.

Все вычисления выполняются локально в вашем браузере, никакие данные никуда не отправляются. Ограничения: длины от 10⁻¹⁰⁰ до 10¹⁰⁰, результаты округляются до 6 знаков после запятой (углы до 2), точная форма с корнем выводится, когда квадрат результата является целым числом меньше 2⁵³. Если одна сторона намного короче другой, чертёж строится не в масштабе.