Calculadora del teorema de Pitágoras

Calcula cualquier lado de un triángulo rectángulo con el teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras relaciona los tres lados de un triángulo rectángulo: c² = a² + b², donde c es la hipotenusa. Conociendo dos lados se obtiene el tercero. Esta calculadora lo hace al instante, tanto si buscas la hipotenusa como un cateto, y da el valor exacto (como 5√2) además del aproximado.

Es uno de los resultados más usados de las matemáticas, desde 2.º de ESO en España o la secundaria en Latinoamérica hasta la universidad: alumnos que comprueban ejercicios, albañiles que escuadran una esquina con la regla 3-4-5, estudiantes de física que suman vectores perpendiculares. La herramienta añade los ángulos, el área, el perímetro, la altura, las proyecciones, los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita, un dibujo a escala y la resolución paso a paso.

1. Elige la incógnita

   Pulsa «Hallar la hipotenusa c» (opción por defecto), «Hallar el cateto a» o «Hallar el cateto b». Los catetos a y b forman el ángulo recto.

2. Introduce las dos longitudes conocidas

   Rellena los dos campos visibles (Cateto a, Cateto b o Hipotenusa c); se admiten decimales con coma o con punto. El menú Unidad añade la unidad elegida (cm, m, pies…) a los resultados y el área se expresa en unidades cuadradas (cm²).

3. Lee el resultado

   El lado que falta aparece en grande, con su valor exacto (por ejemplo √50 = 5√2) cuando el cuadrado del resultado es entero, y una etiqueta si los tres lados forman una terna pitagórica. El botón «Copiar» lleva el resultado al portapapeles.

4. Comprueba con el dibujo y los pasos

   El triángulo se dibuja a escala, con el lado calculado en trazo discontinuo. Abre «Solución paso a paso» para copiar el desarrollo: fórmula, sustitución, raíz cuadrada y, si hace falta, simplificación de la raíz.

La fórmula de Pitágoras y lo que calcula la herramienta

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: c² = a² + b². Para un cateto se despeja su cuadrado: a = √(c² − b²). Con los tres lados se obtienen todas las demás medidas:

• a y b: los catetos, que forman el ángulo recto; c: la hipotenusa, el lado mayor, opuesto al ángulo recto.
• Ángulos agudos: tan α = a / b y β = 90° − α, en grados (2 decimales) y en radianes. α es el ángulo opuesto al cateto a.
• Área y perímetro: A = a × b / 2 (los catetos son base y altura) y P = a + b + c.
• Altura sobre la hipotenusa: h = a × b / c, al escribir el área de dos maneras.
• Proyecciones sobre la hipotenusa: m = a² / c y n = b² / c (teorema del cateto); por el teorema de la altura, h² = m × n (para 3, 4, 5: 1,8 × 3,2 = 5,76 = 2,4²).
• Circunferencias: radio de la inscrita r = (a + b − c) / 2; radio de la circunscrita R = c / 2, porque la hipotenusa es un diámetro de esa circunferencia.

Cuando el cuadrado del resultado es un entero que no es cuadrado perfecto, la herramienta simplifica la raíz extrayendo el mayor factor cuadrado: √50 = √(25 × 2) = 5√2. El cuadrado del lado buscado se calcula con aritmética decimal exacta, así que con 0,3 y 0,4 se obtiene exactamente c = 0,5, sin errores de redondeo.

Ejemplos resueltos del teorema de Pitágoras

Para qué sirve el teorema de Pitágoras

• Obra y bricolaje: la regla 3-4-5 comprueba un ángulo recto; si se marcan 60 cm y 80 cm sobre dos paredes, la diagonal debe medir exactamente 100 cm.
• Pantallas: un televisor con un panel de 120 × 67,5 cm tiene una diagonal de 137,681698 cm, unas 54,21 pulgadas (1 pulgada = 2,54 cm).
• Escaleras de mano: una escalera de 5 m con el pie a 1,5 m de la pared alcanza √22,75 ≈ 4,769696 m de altura.
• Rampas y tejados: una rampa de 6 m en horizontal que sube 0,5 m mide 6,020797 m, con una inclinación de 4,76°. Para una escalera, el cálculo de escaleras da además el número de peldaños y el hueco.
• Coordenadas y física: dos puntos cuyas coordenadas difieren en 3 en x y en 4 en y están a una distancia de 5; dos fuerzas perpendiculares de 30 N y 40 N dan una resultante de 50 N.

Errores frecuentes

• Sumar las longitudes en vez de los cuadrados: c no es a + b (3 + 4 = 7, pero c = 5).
• Sumar cuando hay que restar: para un cateto se calcula c² − b². Si sale cero o negativo, la hipotenusa introducida es demasiado corta.
• Mezclar unidades: unos catetos de 1 m y 50 cm deben pasar primero a 100 cm y 50 cm, lo que da c = √12500 = 50√5 ≈ 111,803399 cm.
• Redondear demasiado pronto: 7,07² = 49,9849, no 50. Conserva el valor exacto 5√2 hasta el final y redondea después.

Todos los cálculos se hacen localmente en tu navegador: no se envía ningún dato. Límites: longitudes entre 10⁻¹⁰⁰ y 10¹⁰⁰, resultados redondeados a 6 decimales (ángulos a 2), forma exacta cuando el cuadrado del resultado es un entero menor que 2⁵³. El dibujo deja de estar a escala cuando un lado es mucho más corto que el otro.