Calculadora do teorema de Pitágoras
Hipotenusa ou cateto, forma exata com raiz, ângulos, área e desenho.
- Instantânea
- Grátis
- Privada (processada localmente)
- Sem registo
Calcule qualquer lado de um triângulo retângulo com o teorema de Pitágoras
O teorema de Pitágoras relaciona os três lados de um triângulo retângulo: c² = a² + b², em que c é a hipotenusa. Conhecendo dois lados, obtém-se o terceiro. Esta calculadora fá-lo de imediato, quer procure a hipotenusa quer um cateto, e dá o valor exato (como 5√2) além do valor aproximado.
É um dos resultados mais usados da matemática, desde o 8.º ano em Portugal e o 9.º ano no Brasil até à universidade: alunos que verificam exercícios, pedreiros que marcam um ângulo reto com a regra 3-4-5, estudantes de física que somam vetores perpendiculares. A ferramenta acrescenta os ângulos, a área, o perímetro, a altura, as projeções, os raios das circunferências inscrita e circunscrita, um desenho à escala e a resolução passo a passo.
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Escolha a incógnita
Clique em “Calcular a hipotenusa c” (opção predefinida), “Calcular o cateto a” ou “Calcular o cateto b”. Os catetos a e b formam o ângulo reto.
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Introduza os dois comprimentos conhecidos
Preencha os dois campos visíveis (Cateto a, Cateto b ou Hipotenusa c); aceita decimais com vírgula ou com ponto. O menu Unidade acrescenta a unidade escolhida (cm, m, pés…) aos resultados e a área passa a unidades quadradas (cm²).
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Leia o resultado
O lado em falta surge em destaque, com o valor exato (por exemplo √50 = 5√2) quando o quadrado do resultado é inteiro, e uma etiqueta se os três lados formarem um terno pitagórico. O botão “Copiar” envia o resultado para a área de transferência.
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Confirme com o desenho e os passos
O triângulo é desenhado à escala, com o lado calculado a tracejado. Abra “Resolução passo a passo” para copiar o raciocínio: fórmula, substituição, raiz quadrada e, se for preciso, simplificação da raiz.
A fórmula de Pitágoras e o que a ferramenta calcula
Num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos: c² = a² + b². Para um cateto, isola-se o seu quadrado: a = √(c² − b²). A partir dos três lados obtêm-se todas as outras medidas (as relações métricas do triângulo retângulo):
- a e b: os catetos, que formam o ângulo reto; c: a hipotenusa, o lado maior, oposto ao ângulo reto.
- Ângulos agudos:
tg α = a / beβ = 90° − α, em graus (2 casas decimais) e em radianos. α é o ângulo oposto ao cateto a. - Área e perímetro:
A = a × b / 2(os catetos são base e altura) eP = a + b + c. - Altura relativa à hipotenusa:
h = a × b / c, escrevendo a área de duas formas. - Projeções sobre a hipotenusa:
m = a² / cen = b² / c; o seu produto valeh²(para 3, 4, 5: 1,8 × 3,2 = 5,76 = 2,4²). - Circunferências: raio da inscrita
r = (a + b − c) / 2; raio da circunscritaR = c / 2, porque a hipotenusa é um diâmetro dessa circunferência.
Quando o quadrado do resultado é um inteiro que não é quadrado perfeito, a ferramenta simplifica a raiz extraindo o maior fator quadrado: √50 = √(25 × 2) = 5√2. O quadrado do lado procurado é calculado com aritmética decimal exata, por isso 0,3 e 0,4 dão exatamente c = 0,5, sem erros de arredondamento.
Exemplos resolvidos do teorema de Pitágoras
| Incógnita | Dados | Resultado da ferramenta | A reter |
|---|---|---|---|
| c | a = 3, b = 4 | c = 5 | terno primitivo (3, 4, 5), área 6, α ≈ 36,87° |
| c | a = 5, b = 12 | c = 13 | terno primitivo, altura h ≈ 4,615385 |
| c | a = 1, b = 1 | c = √2 ≈ 1,414214 | triângulo retângulo isósceles (metade de um quadrado): α = β = 45° |
| c | a = 5, b = 5 | c = √50 = 5√2 ≈ 7,071068 | área 12,5 |
| b | c = 10, a = 6 | b = 8 | (6, 8, 10) = 2 × (3, 4, 5), não primitivo |
| b | c = 2, a = 1 | b = √3 ≈ 1,732051 | metade de um triângulo equilátero: α = 30°, β = 60° |
Para que serve o teorema de Pitágoras
- Obras e bricolage: a regra 3-4-5 verifica um ângulo reto; marcando 60 cm e 80 cm em duas paredes, a diagonal tem de medir exatamente 100 cm.
- Ecrãs: um televisor com um painel de 120 × 67,5 cm tem uma diagonal de 137,681698 cm, cerca de 54,21 polegadas (1 polegada = 2,54 cm).
- Escadas de mão: uma escada de 5 m com o pé a 1,5 m da parede alcança √22,75 ≈ 4,769696 m de altura.
- Rampas e telhados: uma rampa com 6 m na horizontal e 0,5 m de desnível mede 6,020797 m, com uma inclinação de 4,76°. Para uma escada, o cálculo de escada indica também o número de degraus e o vão.
- Coordenadas e física: dois pontos cujas coordenadas diferem 3 unidades em x e 4 em y estão a 5 unidades de distância; forças perpendiculares de 30 N e 40 N têm uma resultante de 50 N.
Erros frequentes
- Somar os comprimentos em vez dos quadrados: c não é a + b (3 + 4 = 7, mas c = 5).
- Somar quando é preciso subtrair: para um cateto calcula-se
c² − b². Se der zero ou negativo, a hipotenusa introduzida é curta demais. - Misturar unidades: catetos de 1 m e 50 cm têm de passar primeiro a 100 cm e 50 cm, o que dá c = √12500 = 50√5 ≈ 111,803399 cm.
- Arredondar cedo demais: 7,07² = 49,9849 e não 50. Mantenha o valor exato 5√2 até ao fim e só depois arredonde.
Todos os cálculos são feitos localmente no seu navegador: nenhum dado é enviado. Limites: comprimentos entre 10⁻¹⁰⁰ e 10¹⁰⁰, resultados arredondados a 6 casas decimais (ângulos a 2), forma exata quando o quadrado do resultado é um inteiro inferior a 2⁵³. O desenho deixa de estar à escala quando um lado é muito mais curto do que o outro.
Perguntas frequentes
Qual é a fórmula do teorema de Pitágoras?
Num triângulo retângulo de catetos a e b e hipotenusa c, tem-se c² = a² + b². Com a = 3 e b = 4: c² = 9 + 16 = 25, logo c = √25 = 5. A hipotenusa é sempre o lado oposto ao ângulo reto e o maior dos três.
Como se calcula um cateto?
Isola-se o seu quadrado: b² = c² − a², e depois b = √(c² − a²). Com c = 10 e a = 6: b² = 100 − 36 = 64, logo b = 8. A hipotenusa tem de ser estritamente maior do que o cateto conhecido: com c = 5 e a = 5 não existe triângulo e a ferramenta mostra um erro.
Porque aparece √50 = 5√2?
É o valor exato, o que se pede num teste. Para a = b = 5, c² = 50 = 25 × 2, logo c = √25 × √2 = 5√2 ≈ 7,071068. A raiz exata aparece sempre que o quadrado do resultado é um inteiro que não é quadrado perfeito (√2, √3, 5√2…); o decimal é apenas um arredondamento.
O que é um terno pitagórico?
Três números naturais que verificam a² + b² = c², como (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17) ou (7, 24, 25). Um terno é primitivo quando os três números não têm divisores comuns além de 1 (MDC = 1): (6, 8, 10) = 2 × (3, 4, 5) não é. A fórmula de Euclides (m² − n², 2mn, m² + n²), com m > n > 0 inteiros, gera tantos quantos se queira: m = 3 e n = 2 dão (5, 12, 13).
Como saber se um triângulo é retângulo?
Com o recíproco do teorema de Pitágoras: compara-se o quadrado do maior lado com a soma dos quadrados dos outros dois. Para 5, 12, 13: 25 + 144 = 169 = 13², logo é retângulo. Para 4, 5, 6: 16 + 25 = 41 ≠ 36, não é (e como 36 < 41, é acutângulo).
Como são calculados os ângulos e a altura?
Com trigonometria: tg α = a / b, e depois β = 90° − α. Para 3, 4, 5: α = arctg(0,75) ≈ 36,87° e β ≈ 53,13°. A altura relativa à hipotenusa resulta de escrever a área de duas formas (a × b = c × h), ou seja, h = 12 / 5 = 2,4.