Kalkulator równania kwadratowego

Rozwiąż równanie kwadratowe ax² + bx + c = 0 w kilka sekund

Równanie kwadratowe ma postać ax² + bx + c = 0, gdzie a ≠ 0. Ten kalkulator liczy deltę (wyróżnik Δ), ustala liczbę rozwiązań, podaje pierwiastki w postaci dziesiętnej i dokładnej (uproszczone pierwiastki, ułamki nieskracalne, liczby zespolone) oraz rysuje parabolę z miejscami zerowymi i wierzchołkiem.

Równania kwadratowe to jeden z filarów matematyki w liceum i technikum, regularnie obecny na maturze: postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa to trzy zapisy tej samej funkcji kwadratowej, z tymi samymi miejscami zerowymi. Uczniowie sprawdzają tu zadania domowe, nauczyciele przygotowują rozwiązania, a studenci fizyki, kierunków technicznych czy ekonomii szybko rozwiązują równania z prawdziwych problemów: rzut pionowy, próg rentowności, pole działki.

1. Wpisz a, b i c

   Wprowadź współczynniki w pola „a (współczynnik przy x²)”, „b (współczynnik przy x)” i „c (wyraz wolny)”. Można wpisywać ułamki dziesiętne i liczby ujemne; wiersz „Twoje równanie” pokazuje, jak równanie zostało odczytane.

2. Odczytaj deltę i rozwiązania

   W fioletowej ramce widać wyróżnik, znaczenie jego znaku (dwa pierwiastki, pierwiastek podwójny lub zespolone), x₁ i x₂ zaokrąglone do 6 miejsc po przecinku oraz „Postać dokładna”. Przycisk „Kopiuj wynik” kopiuje całość.

3. Skorzystaj z kart i wykresu

   Karty pokazują wierzchołek W(p; q), oś symetrii, przecięcie z osią y, kierunek ramion, sumę i iloczyn pierwiastków oraz postać kanoniczną i iloczynową; wykres zaznacza miejsca zerowe, wierzchołek i punkt przecięcia z osią y.

4. Rozwiń rozwiązanie krok po kroku

   Rozwiń „Rozwiązanie krok po kroku”, aby zobaczyć deltę z Twoimi liczbami, wzory na pierwiastki z podstawionymi wartościami i obliczenie wierzchołka, gotowe do przepisania.

Metoda: delta i wzory na pierwiastki

Dla ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) najpierw liczymy Δ = b² − 4ac. Gdy Δ > 0, pierwiastki to x₁ = (−b − √Δ)/(2a) i x₂ = (−b + √Δ)/(2a); gdy Δ = 0, pierwiastek podwójny to x₀ = −b/(2a); gdy Δ < 0, brak pierwiastków rzeczywistych, ale istnieją dwa zespolone sprzężone.

Postać kanoniczna a(x − p)² + q, gdzie p = −b/(2a) i q = −Δ/(4a), pokazuje, że parabola powstaje z wykresu y = ax² przez przesunięcie o wektor [p, q], które przenosi wierzchołek do punktu W(p; q). Wewnętrznie znak delty jest ustalany w dokładnej arytmetyce całkowitej (dlatego 0,1x² + 0,2x + 0,1 = 0 zostaje poprawnie rozpoznane jako Δ = 0), a pierwiastki liczone są stabilnym numerycznie wariantem wzoru, który nie gubi cyfr, gdy b² jest dużo większe od 4ac.

• a, b, c: współczynniki; a stoi przy x² i musi być różne od zera, b stoi przy x, c to wyraz wolny.
• Δ (delta): jej znak mówi, ile jest pierwiastków rzeczywistych (2, 1 lub 0); gdy Δ < 0, pierwiastki to p ± qi, gdzie p = −b/(2a) i q = √(−Δ)/(2|a|).
• ±: znak minus daje jeden pierwiastek, plus drugi; przez 2a dzielimy cały licznik −b ± √Δ.
• Wierzchołek W(p; q): minimum funkcji, gdy a > 0, maksimum, gdy a < 0; prosta x = p jest osią symetrii.
• Wzory Viète’a: x₁ + x₂ = −b/a oraz x₁ · x₂ = c/a, przydatne do sprawdzenia wyniku lub zgadnięcia pierwiastka.
• Postać dokładna: z √Δ wyłączany jest czynnik przed pierwiastek (√48 = 4√3), a ułamek skracany przez NWD jego trzech wyrazów.

Przykłady z rozwiązaniami

Do czego służy kalkulator równania kwadratowego?

• Zadania domowe i sprawdziany: sprawdzić deltę, pierwiastki i postać kanoniczną zadania krok po kroku.
• Fizyka: piłka rzucona pionowo w górę z prędkością 20 m/s z wysokości 1,5 m ma wysokość h(t) = −4,9t² + 20t + 1,5. Równanie h(t) = 0 daje t ≈ 4,155303 s (drugi, ujemny pierwiastek odrzucamy), a wierzchołek daje maksymalną wysokość około 21,908163 m dla t ≈ 2,040816 s.
• Geometria: prostokąt o obwodzie 20 i polu 21 ma boki będące rozwiązaniami x² − 10x + 21 = 0, czyli 3 i 7.
• Ekonomia: zysk Z(q) = −2q² + 40q − 150 zeruje się dla q = 5 i q = 15, a największy (50) jest dla q = 10, co widać od razu w wierzchołku.
• Nauczanie: układać przykłady z pierwiastkami całkowitymi i pokazywać na lekcji, jak a, b i c zmieniają parabolę.

Częste błędy

• Zgubienie znaku b: w x² − 3x + 2 mamy b = −3, więc −b = 3, a b² = (−3)² = 9, nie −9.
• Dzielenie przez 2a tylko części licznika: dzielimy cały licznik −b ± √Δ, a nie samo √Δ.
• Odczytanie a, b, c bez uporządkowania równania: 2x² = 7x − 3 trzeba najpierw zapisać jako 2x² − 7x + 3 = 0.
• Pisanie „brak rozwiązań” przy Δ < 0 bez dopowiedzenia: nie ma ich w zbiorze liczb rzeczywistych, ale istnieją dwa zespolone sprzężone.

Wszystkie obliczenia odbywają się lokalnie w Twojej przeglądarce: żadne dane nie są wysyłane. Wyniki dziesiętne są zaokrąglane do 6 miejsc po przecinku; postać dokładna pojawia się, dopóki wartość bezwzględna delty (obliczonej po sprowadzeniu współczynników do liczb całkowitych) jest mniejsza niż 2⁵³ ≈ 9 · 10¹⁵. Niezerowe współczynniki muszą mieć wartość bezwzględną od 10⁻¹⁰⁰ do 10¹⁰⁰.