二次方程式 ax² + bx + c = 0 を数秒で解く
二次方程式は ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）の形の方程式です。このツールは判別式 D を計算して解の個数を判定し、解を小数と厳密な形（根号の簡約、既約分数、虚数）で表示したうえで、解と頂点を書き込んだ放物線のグラフを描きます。
二次方程式は中学3年で学び、高校の数学Iで二次関数・平方完成・判別式へとつながる重要単元です。因数分解・平方完成・解の公式のどれで解いても答えは同じなので、生徒は宿題の答え合わせに、先生は解答づくりに、物理や工学・経済を学ぶ人は放物運動、損益分岐点、面積などの実際の問題から出てくる方程式を手早く解くのに使えます。
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a・b・c を入力
「a（x² の係数）」「b（x の係数）」「c（定数項）」の欄に係数を入れます。小数や負の数もそのまま入力でき、「入力した方程式」の行で読み取られた式を確認できます。
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D と解を読む
紫の枠に判別式、その符号の意味（異なる2つの実数解・重解・虚数解）、小数第6位までの x₁ と x₂、「厳密な形」が表示されます。「結果をコピー」でまとめてクリップボードへ。
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カードとグラフを活用
頂点 (p, q)、軸、y切片、グラフの向き、2つの解の和と積、平方完成した形、因数分解した形をカードで表示し、グラフには解（x軸との交点）と頂点が印されます。
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途中式を開く
「途中式（ステップごとの解き方）」を開くと、数値を代入した D の計算、解の公式への代入、頂点の計算がそのまま書き写せる形で並びます。
解き方：判別式と解の公式
ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）では、まず D = b² − 4ac を計算します。D > 0 なら解は x₁ = (−b − √D)/(2a) と x₂ = (−b + √D)/(2a)、D = 0 なら重解 x = −b/(2a)、D < 0 なら実数解はなく、互いに共役な2つの虚数解をもちます。
平方完成すると a(x − p)² + q（p = −b/(2a)、q = −D/(4a)）となり、放物線は y = ax² のグラフを x 軸方向に p、y 軸方向に q だけ平行移動したもので、頂点は (p, q) だとわかります。内部では D の符号を整数の厳密計算で判定するため、0.1x² + 0.2x + 0.1 = 0 も正しく重解と判定されます。また解は数値的に安定な形の公式で求めるので、b² が 4ac よりずっと大きいときも桁落ちしません。
- a, b, c：係数。a は x² の係数で 0 以外、b は x の係数、c は定数項です。
- D（判別式）：符号で実数解の個数（2・1・0）がわかります。D < 0 のときの解は
p ± qi（p = −b/(2a)、q = √(−D)/(2|a|)）です。 - ±：マイナスで一方の解、プラスでもう一方の解。分子 −b ± √D 全体を 2a で割ります。
- 頂点 (p, q)：a > 0（下に凸）なら最小値、a < 0（上に凸）なら最大値。直線 x = p が軸です。
- 解と係数の関係：x₁ + x₂ = −b/a、x₁x₂ = c/a。検算や、明らかな解を見つけるのに便利です。
- 厳密な形：√D の中の平方因数を外に出し（√48 = 4√3）、3つの項の最大公約数で約分します。
二次方程式の計算例
| 方程式 | D | 解 | 頂点 (p, q) |
|---|---|---|---|
| x² − 3x + 2 = 0 | 1 | x₁ = 1、x₂ = 2 | (1.5, −0.25) |
| x² − 2x + 1 = 0 | 0 | x₁ = x₂ = 1（重解） | (1, 0) |
| 2x² − 7x + 3 = 0 | 25 | x₁ = 1/2 = 0.5、x₂ = 3 | (1.75, −3.125) |
| x² − 3x + 1 = 0 | 5 | x = (3 ± √5)/2：x₁ ≈ 0.381966、x₂ ≈ 2.618034 | (1.5, −1.25) |
| x² + 4x − 8 = 0 | 48 | x = −2 ± 2√3：x₁ ≈ −5.464102、x₂ ≈ 1.464102 | (−2, −12) |
| 2x² + 4x + 5 = 0 | −24 | x = (−2 ± i√6)/2 ≈ −1 ± 1.224745i | (−1, 3) |
ツールの表示と同じ値です（小数第6位まで、厳密な形は簡約済み）。
こんな場面で役立ちます
- 宿題・定期テスト対策：判別式、解、平方完成した形を途中式ごとに確認できます。
- 物理：高さ 1.5 m の位置から初速 20 m/s で真上に投げたボールの高さは h(t) = −4.9t² + 20t + 1.5 です。h(t) = 0 を解くと t ≈ 4.155303 秒で地面に落ち（負の解は不適）、頂点から t ≈ 2.040816 秒で最高点 約 21.908163 m に達するとわかります。
- 図形：周の長さ 20、面積 21 の長方形の辺は x² − 10x + 21 = 0 の解で、3 と 7 です。
- 経済：利益 −2q² + 40q − 150 は q = 5 と q = 15 で 0 になり、頂点から q = 10 で最大値 50 と読み取れます。
- 授業づくり：整数解をもつ例題を作り、a・b・c を変えると放物線がどう変わるかを教室で見せられます。
よくある間違い
- b の符号を落とす：x² − 3x + 2 では b = −3 なので −b = 3、b² = (−3)² = 9 であって −9 ではありません。
- 分子の一部だけを 2a で割る：割るのは −b ± √D 全体で、√D だけではありません。
- 移項せずに a・b・c を読む：2x² = 7x − 3 は、まず 2x² − 7x + 3 = 0 に整理します。
- D < 0 で「解なし」と書く：実数解はありませんが、互いに共役な2つの虚数解があります。
計算はすべてお使いのブラウザ内で行われ、データは一切送信されません。小数は小数第7位を四捨五入し、小数第6位まで表示します。厳密な形は、係数を整数に直して求めた判別式の絶対値が 253 ≈ 9 × 1015 未満のときに表示されます。0 でない係数の絶対値は 10−100 以上 10100 以下にしてください。
よくある質問
判別式で解の個数はどう判定する？
D = b² − 4ac を計算します。x² − 3x + 2 = 0 なら D = 9 − 8 = 1 > 0 なので、異なる2つの実数解 x₁ = 1、x₂ = 2 をもちます。D = 0（x² − 2x + 1 = 0）なら重解 x = 1、D < 0（2x² + 4x + 5 = 0 で D = −24）なら実数解はありません。
D が負のときは何が表示される？
互いに共役な2つの虚数解 p ± qi を表示します（p = −b/(2a)、q = √(−D)/(2|a|)）。2x² + 4x + 5 = 0 では x ≈ −1 ± 1.224745i、厳密な形では (−2 ± i√6)/2 です。実数の範囲では解がなく、放物線は x 軸と交わりません。
厳密な形はどう簡約される？
根号の中から平方因数を外に出し（√48 = √(16 × 3) = 4√3）、分子と分母を最大公約数で約分します。たとえば x² + 4x − 8 = 0 は (−4 ± 4√3)/2 = −2 ± 2√3 になります。小数の係数にも対応し、x² + 0.5x − 1 = 0 は (−1 ± √17)/4 です。
a = 0 のときはどうなる？
二次方程式ではなく一次方程式 bx + c = 0 になり、x = −c/b です。a = 0、b = −3、c = 2 なら x = 2/3 ≈ 0.666667 と表示されます。さらに b = 0 なら、c ≠ 0 のとき解なし、c = 0 のときすべての実数が解です。
頂点と平方完成した形の求め方は？
頂点は (p, q) で、p = −b/(2a)、q = −D/(4a) です。x² − 3x + 2 なら頂点は (1.5, −0.25)、平方完成すると y = (x − 1.5)² − 0.25 です。a < 0 のときは頂点で最大となり、−x² + 2x + 3 は x = 1 のとき最大値 4 をとります。
解と係数の関係で答えを確かめるには？
2つの解は常に x₁ + x₂ = −b/a、x₁x₂ = c/a を満たします。2x² − 7x + 3 = 0 の解は 1/2 と 3 で、和は 3.5 = 7/2、積は 1.5 = 3/2 です。ツールは和と積も表示するので、手計算の検算にすぐ使えます。