Решение квадратного уравнения

Решить квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 за несколько секунд

Квадратное уравнение имеет вид ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0. Калькулятор находит дискриминант D, определяет число корней, выводит корни в десятичном виде и в точной форме (упрощённые радикалы, несократимые дроби, комплексные числа) и строит параболу с отмеченными корнями и вершиной.

Квадратные уравнения изучают в 8 классе, а в 9 классе к ним добавляется квадратичная функция и её график; без них не обходятся ни ОГЭ, ни ЕГЭ. Школьники проверяют домашнее задание, учителя готовят ответы к самостоятельным работам, а студенты физических, технических и экономических специальностей быстро решают уравнения из реальных задач: бросок тела вверх, точка безубыточности, площадь участка.

1. Введите a, b и c

   Впишите коэффициенты в поля «a (коэффициент при x²)», «b (коэффициент при x)» и «c (свободный член)». Можно вводить десятичные и отрицательные числа; строка «Ваше уравнение» показывает, как уравнение прочитано.

2. Посмотрите D и корни

   В фиолетовой рамке выводятся дискриминант, смысл его знака (два корня, один корень или комплексные корни), x₁ и x₂ с 6 знаками после запятой и «Точная форма». Кнопка «Копировать результат» копирует всё сразу.

3. Изучите карточки и график

   Карточки показывают вершину (x₀; y₀), ось симметрии, пересечение с осью y, направление ветвей, сумму и произведение корней, выделение полного квадрата и разложение на множители; на графике отмечены корни, вершина и точка пересечения с осью y.

4. Откройте решение по шагам

   Раскройте «Подробное решение по шагам»: там D с вашими числами, формула корней с подставленными значениями и расчёт вершины; всё это можно сразу переписать в тетрадь.

Метод: дискриминант и формула корней

Для ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) сначала вычисляют D = b² − 4ac. Если D > 0, корни равны x₁ = (−b − √D)/(2a) и x₂ = (−b + √D)/(2a); если D = 0, корень один: x = −b/(2a); если D < 0, действительных корней нет, есть два комплексно-сопряжённых.

Выделение полного квадрата даёт вид a(x − x₀)² + y₀, где x₀ = −b/(2a) и y₀ = −D/(4a): парабола получается из графика y = ax² параллельным переносом, при котором вершина переходит в точку (x₀; y₀). Внутри знак D определяется точной целочисленной арифметикой (поэтому 0,1x² + 0,2x + 0,1 = 0 правильно распознаётся как уравнение с одним корнем), а корни считаются по численно устойчивому варианту формулы, который не теряет точность, когда b² намного больше 4ac.

• a, b, c: коэффициенты; a стоит при x² и не равен нулю, b стоит при x, c называют свободным членом.
• D (дискриминант): знак показывает число действительных корней (2, 1 или 0); при D < 0 корни равны p ± qi, где p = −b/(2a) и q = √(−D)/(2|a|).
• ±: со знаком минус получается один корень, с плюсом другой; на 2a делится весь числитель −b ± √D.
• Вершина (x₀; y₀): минимум функции при a > 0, максимум при a < 0; прямая x = x₀ является осью симметрии.
• Теорема Виета: x₁ + x₂ = −b/a и x₁ · x₂ = c/a; удобно для проверки или подбора корней.
• Точная форма: из √D выносится множитель (√48 = 4√3), затем дробь сокращается на НОД трёх её членов.

Примеры решения квадратных уравнений

Где пригодится решение квадратных уравнений

• Домашние задания и контрольные: проверить D, корни и выделение полного квадрата шаг за шагом.
• Физика: мяч, брошенный вертикально вверх со скоростью 20 м/с с высоты 1,5 м, движется по закону h(t) = −4,9t² + 20t + 1,5. Уравнение h(t) = 0 даёт t ≈ 4,155303 с (второй, отрицательный корень не подходит), а вершина даёт максимальную высоту около 21,908163 м при t ≈ 2,040816 с.
• Геометрия: у прямоугольника с периметром 20 и площадью 21 стороны являются корнями x² − 10x + 21 = 0, то есть 3 и 7.
• Экономика: прибыль P(q) = −2q² + 40q − 150 равна нулю при q = 5 и q = 15 и максимальна (50) при q = 10, что видно прямо по вершине.
• Преподавание: подобрать примеры с целыми корнями и показать на уроке, как a, b и c меняют параболу.

Частые ошибки

• Потерять знак b: в x² − 3x + 2 коэффициент b = −3, значит −b = 3 и b² = (−3)² = 9, а не −9.
• Делить на 2a только часть числителя: делится весь числитель −b ± √D, а не только √D.
• Выписывать a, b, c, не приведя уравнение к стандартному виду: 2x² = 7x − 3 сначала переписывают как 2x² − 7x + 3 = 0.
• Писать «корней нет» при D < 0 без уточнения: действительных корней нет, но есть два комплексно-сопряжённых.

Все вычисления выполняются локально в вашем браузере: никакие данные не отправляются. Десятичные значения округляются до 6 знаков после запятой; точная форма выводится, пока модуль дискриминанта (вычисленного после приведения коэффициентов к целым) меньше 2⁵³ ≈ 9 · 10¹⁵. Модули ненулевых коэффициентов должны лежать в пределах от 10⁻¹⁰⁰ до 10¹⁰⁰.