Résoudre une équation du second degré

Résoudre une équation du second degré ax² + bx + c = 0

Une équation du second degré s’écrit ax² + bx + c = 0 avec a ≠ 0. Ce solveur calcule le discriminant Δ, en déduit le nombre de solutions, donne les racines en valeur décimale et en forme exacte (radicaux simplifiés, fractions irréductibles, nombres complexes), puis trace la parabole avec ses racines et son sommet.

Le second degré est au cœur du programme de mathématiques de Première (spécialité) : trinôme, forme canonique, signe du trinôme. Les lycéens se servent de l’outil pour vérifier un exercice, les enseignants pour préparer un corrigé, et les étudiants en physique ou en économie pour résoudre vite une équation issue d’un problème concret : lancer vertical, seuil de rentabilité, aire d’un rectangle.

1. Saisissez a, b et c

   Entrez les coefficients dans les champs « a (coefficient de x²) », « b (coefficient de x) » et « c (terme constant) ». Les nombres décimaux et négatifs sont acceptés ; la ligne « Votre équation » affiche l’équation telle qu’elle a été lue.

2. Lisez Δ et les solutions

   Le cadre violet donne le discriminant, son interprétation (deux solutions, solution double ou solutions complexes), x₁ et x₂ arrondis à 6 décimales et la « Forme exacte ». Le bouton « Copier le résultat » copie le tout dans le presse-papiers.

3. Exploitez les fiches et la courbe

   Les fiches donnent le sommet S(α ; β), l’axe de symétrie, l’ordonnée à l’origine, l’orientation, la somme et le produit des racines, la forme canonique et la forme factorisée ; la courbe situe les racines, le sommet et l’ordonnée à l’origine.

4. Ouvrez la résolution détaillée

   Dépliez « Résolution détaillée, étape par étape » pour voir Δ calculé avec vos nombres, la formule des racines appliquée puis le calcul du sommet, prêts à recopier.

La méthode : discriminant et formule des racines

Pour ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0), on calcule d’abord Δ = b² − 4ac. Si Δ > 0, les deux solutions sont x₁ = (−b − √Δ)/(2a) et x₂ = (−b + √Δ)/(2a) ; si Δ = 0, la solution double est x₀ = −b/(2a) ; si Δ < 0, il n’y a pas de solution réelle mais deux solutions complexes conjuguées.

La forme canonique a(x − α)² + β, avec α = −b/(2a) et β = −Δ/(4a), explique tout : la parabole se déduit de celle de y = x² par une dilatation verticale de rapport a (qui la retourne si a < 0), puis par une translation qui amène son sommet en S(α ; β). Côté calcul, le signe de Δ est testé en arithmétique entière exacte (0,1x² + 0,2x + 0,1 = 0 est bien reconnue comme ayant une solution double) et les racines utilisent la variante numériquement stable de la formule, qui évite les pertes de chiffres quand b² est très grand devant 4ac.

• a, b, c : les coefficients ; a multiplie x² et doit être non nul, b multiplie x, c est le terme constant.
• Δ (discriminant) : son signe donne le nombre de solutions réelles (2, 1 ou 0) ; si Δ < 0, les solutions sont p ± qi avec p = −b/(2a) et q = √(−Δ)/(2|a|).
• ± : le signe moins donne une racine, le signe plus l’autre ; tout le numérateur −b ± √Δ est divisé par 2a.
• Sommet S(α ; β) : minimum de la fonction si a > 0, maximum si a < 0 ; la droite x = α est l’axe de symétrie.
• Somme et produit : x₁ + x₂ = −b/a et x₁ × x₂ = c/a, utiles pour contrôler un résultat ou repérer une racine évidente.
• Forme exacte : √Δ est simplifiée en sortant les facteurs carrés (√48 = 4√3), puis la fraction est réduite par le PGCD de ses trois termes.

Exemples résolus

À quoi sert un solveur d’équation du second degré ?

• Devoirs et contrôles : vérifier Δ, les racines et la forme canonique d’un exercice, étape par étape.
• Physique : une balle lancée vers le haut à 20 m/s depuis 1,5 m de hauteur suit h(t) = −4,9t² + 20t + 1,5. L’équation h(t) = 0 donne t ≈ 4,155303 s (l’autre racine, négative, est écartée) et le sommet donne une hauteur maximale d’environ 21,908163 m à t ≈ 2,040816 s.
• Géométrie : un rectangle de périmètre 20 et d’aire 21 a pour côtés les solutions de x² − 10x + 21 = 0, soit 3 et 7.
• Économie : un bénéfice B(q) = −2q² + 40q − 150 est nul pour q = 5 et q = 15, et maximal (50) pour q = 10, valeur lue directement au sommet.
• Enseignement : fabriquer des exemples à racines entières et montrer en classe comment a, b et c déforment la parabole.

Erreurs fréquentes

• Oublier le signe de b : dans x² − 3x + 2, b = −3, donc −b = 3 et b² = (−3)² = 9, pas −9.
• Ne diviser qu’une partie par 2a : c’est tout le numérateur −b ± √Δ qui est divisé, pas seulement √Δ.
• Lire a, b, c sans réordonner : 2x² = 7x − 3 doit d’abord s’écrire 2x² − 7x + 3 = 0.
• Conclure « pas de solution » quand Δ < 0 : il n’y en a pas dans ℝ, mais il existe deux solutions complexes conjuguées.

Tous les calculs sont faits localement dans votre navigateur : aucune donnée n’est envoyée. Les résultats décimaux sont arrondis à la 6^e décimale ; la forme exacte est donnée tant que la valeur absolue du discriminant, calculé avec des coefficients rendus entiers, reste inférieure à 2⁵³ ≈ 9 × 10¹⁵. Les coefficients non nuls doivent être compris entre 10⁻¹⁰⁰ et 10¹⁰⁰ en valeur absolue.