Risolvere equazioni di secondo grado

Risolvere equazioni di secondo grado ax² + bx + c = 0 in pochi secondi

Un’equazione di secondo grado ha la forma ax² + bx + c = 0 con a ≠ 0. Questo risolutore calcola il discriminante Δ, ne deduce il numero di soluzioni, fornisce le radici in forma decimale e in forma esatta (radicali semplificati, frazioni ridotte, numeri complessi) e disegna la parabola con radici e vertice.

Le equazioni di secondo grado sono un argomento chiave del secondo anno delle superiori e in terza proseguono con lo studio della parabola nel piano cartesiano. Gli studenti usano lo strumento per controllare i compiti, gli insegnanti per preparare le correzioni, e chi studia fisica, ingegneria o economia per risolvere al volo equazioni che nascono da problemi concreti: lancio verticale, punto di pareggio, aree.

1. Inserisci a, b e c

   Scrivi i coefficienti nei campi «a (coefficiente di x²)», «b (coefficiente di x)» e «c (termine noto)». Sono ammessi decimali e numeri negativi; la riga «La tua equazione» mostra l’equazione così come è stata letta.

2. Leggi Δ e le soluzioni

   Il riquadro viola mostra il discriminante, il significato del suo segno (due soluzioni distinte, coincidenti o complesse), x₁ e x₂ arrotondate a 6 decimali e la «Forma esatta». Il pulsante «Copia risultato» copia tutto.

3. Usa le schede e il grafico

   Le schede riportano il vertice V(h; k), l’asse di simmetria, l’intersezione con l’asse y, la concavità, la somma e il prodotto delle radici, la forma canonica e la forma scomposta; il grafico evidenzia radici, vertice e intersezione con l’asse y.

4. Apri la risoluzione passo per passo

   Espandi «Risoluzione passo per passo» per vedere Δ calcolato con i tuoi numeri, la formula risolutiva con i valori sostituiti e il calcolo del vertice, pronti da ricopiare.

Il metodo: discriminante e formula risolutiva

Per ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) si calcola prima Δ = b² − 4ac. Se Δ > 0 le soluzioni sono x₁ = (−b − √Δ)/(2a) e x₂ = (−b + √Δ)/(2a); se Δ = 0 sono coincidenti, x = −b/(2a); se Δ < 0 non ci sono soluzioni reali ma due soluzioni complesse coniugate.

Completando il quadrato si ottiene la forma canonica a(x − h)² + k con h = −b/(2a) e k = −Δ/(4a): la parabola si ottiene da quella di y = x² con una dilatazione verticale di fattore a (che la ribalta se a < 0) e una traslazione che porta il vertice in V(h; k). Dietro le quinte il segno di Δ è stabilito con aritmetica intera esatta (così 0,1x² + 0,2x + 0,1 = 0 viene riconosciuta come caso Δ = 0) e le radici usano la variante numericamente stabile della formula, che non perde cifre quando b² è molto più grande di 4ac.

• a, b, c: i coefficienti; a moltiplica x² e deve essere diverso da zero, b moltiplica x, c è il termine noto.
• Δ (discriminante): il segno indica il numero di soluzioni reali (2, 1 o 0); se Δ < 0 le soluzioni sono p ± qi con p = −b/(2a) e q = √(−Δ)/(2|a|).
• ±: il segno meno dà una radice, il segno più l’altra; tutto il numeratore −b ± √Δ va diviso per 2a.
• Vertice V(h; k): minimo della funzione se a > 0, massimo se a < 0; la retta x = h è l’asse di simmetria.
• Somma e prodotto: x₁ + x₂ = −b/a e x₁ · x₂ = c/a, comodi per verificare un risultato o trovare una radice evidente.
• Forma esatta: √Δ viene semplificata portando fuori i quadrati (√48 = 4√3), poi la frazione è ridotta per il MCD dei suoi tre termini.

Esempi svolti

A cosa serve un risolutore di equazioni di secondo grado?

• Compiti e verifiche: controllare Δ, le radici e la forma canonica di un esercizio, passo per passo.
• Fisica: una palla lanciata verso l’alto a 20 m/s da 1,5 m di altezza segue h(t) = −4,9t² + 20t + 1,5. Risolvendo h(t) = 0 si ottiene t ≈ 4,155303 s (l’altra radice, negativa, va scartata) e il vertice dà un’altezza massima di circa 21,908163 m per t ≈ 2,040816 s.
• Geometria: un rettangolo di perimetro 20 e area 21 ha per lati le soluzioni di x² − 10x + 21 = 0, cioè 3 e 7.
• Economia: un profitto P(q) = −2q² + 40q − 150 si annulla per q = 5 e q = 15 ed è massimo (50) per q = 10, valore letto direttamente sul vertice.
• Didattica: costruire esempi con radici intere e mostrare in classe come a, b e c deformano la parabola.

Errori frequenti

• Dimenticare il segno di b: in x² − 3x + 2, b = −3, quindi −b = 3 e b² = (−3)² = 9, non −9.
• Dividere per 2a solo una parte: va diviso tutto il numeratore −b ± √Δ, non solo √Δ.
• Leggere a, b, c senza riordinare: 2x² = 7x − 3 va prima scritta come 2x² − 7x + 3 = 0.
• Scrivere «impossibile» quando Δ < 0 senza precisare: lo è in ℝ, ma in ℂ esistono due soluzioni complesse coniugate.

Tutti i calcoli avvengono localmente nel tuo browser: nessun dato viene inviato. I risultati decimali sono arrotondati alla sesta cifra decimale; la forma esatta è mostrata finché il valore assoluto del discriminante, calcolato con i coefficienti resi interi, resta sotto 2⁵³ ≈ 9 · 10¹⁵. I coefficienti non nulli devono essere compresi tra 10⁻¹⁰⁰ e 10¹⁰⁰ in valore assoluto.