Calculadora de ecuaciones de segundo grado

Resuelve cualquier ecuación de segundo grado ax² + bx + c = 0

Una ecuación de segundo grado tiene la forma ax² + bx + c = 0 con a ≠ 0. Esta calculadora obtiene el discriminante Δ, deduce cuántas soluciones hay, da las raíces en decimal y en forma exacta (radicales simplificados, fracciones irreducibles, números complejos) y dibuja la parábola con sus raíces y su vértice.

Es un tema central de la ESO y el Bachillerato en España y de la secundaria en toda Latinoamérica: factorizar, completar el cuadrado y aplicar la fórmula general llevan a las mismas raíces. Los estudiantes usan esta calculadora para comprobar los deberes, los profesores para preparar las soluciones, y quienes estudian física, ingeniería o economía para resolver ecuaciones que surgen de problemas reales: tiro vertical, punto de equilibrio, áreas.

1. Introduce a, b y c

   Escribe los coeficientes en «a (coeficiente de x²)», «b (coeficiente de x)» y «c (término independiente)». Se aceptan decimales y negativos, y la línea «Tu ecuación» muestra la ecuación tal como se ha interpretado.

2. Lee Δ y las soluciones

   El recuadro morado muestra el discriminante, qué significa su signo (dos soluciones, solución doble o soluciones complejas), x₁ y x₂ redondeadas a 6 decimales y la «Forma exacta». El botón «Copiar resultado» lo copia todo.

3. Aprovecha las fichas y la gráfica

   Las fichas muestran el vértice (h, k), el eje de simetría, el corte con el eje y, la orientación, la suma y el producto de las raíces, la forma canónica y la forma factorizada; la gráfica marca las raíces, el vértice y el corte con el eje y.

4. Abre la resolución paso a paso

   Despliega «Resolución paso a paso» para ver Δ calculado con tus números, la fórmula general con los valores sustituidos y el cálculo del vértice, listos para copiar en tu cuaderno.

El método: discriminante y fórmula general

Para ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0), primero se calcula Δ = b² − 4ac. Si Δ > 0, las raíces son x₁ = (−b − √Δ)/(2a) y x₂ = (−b + √Δ)/(2a); si Δ = 0, la solución doble es x = −b/(2a); si Δ < 0, no hay raíces reales sino dos complejas conjugadas.

Completando el cuadrado se llega a la forma canónica a(x − h)² + k con h = −b/(2a) y k = −Δ/(4a): la parábola es la de y = x², dilatada verticalmente por un factor a (y reflejada si a < 0) y trasladada hasta el vértice (h, k). Internamente, el signo de Δ se decide con aritmética entera exacta (por eso 0,1x² + 0,2x + 0,1 = 0 se reconoce como solución doble) y las raíces se calculan con la variante numéricamente estable de la fórmula, que evita perder cifras cuando b² es mucho mayor que 4ac.

• a, b, c: los coeficientes; a multiplica a x² y no puede ser cero, b multiplica a x, c es el término independiente.
• Δ (discriminante): su signo da el número de raíces reales (2, 1 o 0); si Δ < 0, las raíces son p ± qi con p = −b/(2a) y q = √(−Δ)/(2|a|).
• ±: el signo menos da una raíz y el signo más la otra; todo el numerador −b ± √Δ se divide entre 2a.
• Vértice (h, k): mínimo de la función si a > 0, máximo si a < 0; la recta x = h es el eje de simetría.
• Suma y producto: x₁ + x₂ = −b/a y x₁ × x₂ = c/a (Cardano-Vieta), útiles para comprobar un resultado o detectar una raíz evidente.
• Forma exacta: √Δ se simplifica extrayendo cuadrados (√48 = 4√3) y la fracción se reduce por el MCD de sus tres términos.

Ejemplos resueltos

¿Para qué sirve una calculadora de ecuaciones de segundo grado?

• Deberes y exámenes: comprobar Δ, las raíces y la forma canónica de un ejercicio, paso a paso.
• Física: una pelota lanzada hacia arriba a 20 m/s desde 1,5 m de altura sigue h(t) = −4,9t² + 20t + 1,5. Resolver h(t) = 0 da t ≈ 4,155303 s (la otra raíz, negativa, se descarta), y el vértice da una altura máxima de unos 21,908163 m en t ≈ 2,040816 s.
• Geometría: un rectángulo de perímetro 20 y área 21 tiene por lados las soluciones de x² − 10x + 21 = 0, es decir, 3 y 7.
• Economía: un beneficio B(q) = −2q² + 40q − 150 se anula en q = 5 y q = 15, y es máximo (50) en q = 10, valor que se lee directamente en el vértice.
• Docencia: crear ejemplos con raíces enteras y mostrar en clase cómo a, b y c deforman la parábola.

Errores frecuentes

• Olvidar el signo de b: en x² − 3x + 2, b = −3, así que −b = 3 y b² = (−3)² = 9, no −9.
• Dividir entre 2a solo una parte: se divide todo el numerador −b ± √Δ, no solo √Δ.
• Leer a, b, c sin ordenar antes: 2x² = 7x − 3 debe escribirse primero como 2x² − 7x + 3 = 0.
• Decir «no tiene solución» cuando Δ < 0: no la tiene en los reales, pero sí dos soluciones complejas conjugadas.

Todos los cálculos se hacen localmente en tu navegador: no se envía ningún dato. Los resultados decimales se redondean a 6 decimales; la forma exacta se muestra mientras el valor absoluto del discriminante, calculado con los coeficientes convertidos en enteros, sea menor que 2⁵³ ≈ 9 × 10¹⁵. Los coeficientes distintos de cero deben estar entre 10⁻¹⁰⁰ y 10¹⁰⁰ en valor absoluto.