Quadratische Gleichung lösen

Quadratische Gleichungen ax² + bx + c = 0 in Sekunden lösen

Eine quadratische Gleichung hat die Form ax² + bx + c = 0 mit a ≠ 0. Dieser Rechner bestimmt die Diskriminante D, leitet daraus die Anzahl der Lösungen ab, gibt die Lösungen als Dezimalzahl und in exakter Form (vereinfachte Wurzeln, gekürzte Brüche, komplexe Zahlen) aus und zeichnet die Parabel mit Nullstellen und Scheitelpunkt.

Quadratische Gleichungen stehen meist in Klasse 9 auf dem Lehrplan und bleiben bis zum Abitur wichtig: Faktorisieren, quadratische Ergänzung, pq-Formel und Mitternachtsformel (abc-Formel) führen zu denselben Lösungen. Schülerinnen und Schüler kontrollieren damit Hausaufgaben, Lehrkräfte erstellen Lösungsblätter, und in Physik, Technik oder BWL lassen sich Gleichungen aus echten Aufgaben lösen: senkrechter Wurf, Gewinnschwelle, Flächen.

1. a, b und c eingeben

   Tragen Sie die Koeffizienten in „a (Koeffizient von x²)“, „b (Koeffizient von x)“ und „c (absolutes Glied)“ ein. Dezimalzahlen und negative Werte sind erlaubt; die Zeile „Ihre Gleichung“ zeigt die Gleichung so, wie sie gelesen wurde.

2. D und Lösungen ablesen

   Der violette Kasten zeigt die Diskriminante, die Bedeutung ihres Vorzeichens (zwei Lösungen, doppelte Lösung oder komplexe Lösungen), x₁ und x₂ auf 6 Nachkommastellen sowie die „Exakte Form“. „Ergebnis kopieren“ legt alles in die Zwischenablage.

3. Karten und Graph nutzen

   Die Karten zeigen Scheitelpunkt S(d | e), Symmetrieachse, y-Achsenabschnitt, Öffnung, Summe und Produkt der Lösungen, Scheitelpunktform und Linearfaktorform; der Graph markiert Nullstellen, Scheitelpunkt und y-Achsenabschnitt.

4. Lösungsweg aufklappen

   Unter „Lösungsweg Schritt für Schritt“ stehen D mit Ihren Zahlen, die Mitternachtsformel mit eingesetzten Werten und die Berechnung des Scheitelpunkts, bereit zum Übertragen ins Heft.

Das Verfahren: Diskriminante und Mitternachtsformel

Für ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) berechnet man zuerst D = b² − 4ac. Bei D > 0 lauten die Lösungen x₁ = (−b − √D)/(2a) und x₂ = (−b + √D)/(2a), bei D = 0 gibt es die doppelte Lösung x = −b/(2a), bei D < 0 keine reelle, sondern zwei konjugiert komplexe Lösungen.

Die quadratische Ergänzung führt zur Scheitelpunktform a(x − d)² + e mit d = −b/(2a) und e = −D/(4a): Die Parabel entsteht aus der Normalparabel durch Streckung mit dem Faktor a in y-Richtung (bei a < 0 zusätzlich an der x-Achse gespiegelt) und Verschiebung zum Scheitelpunkt S(d | e). Intern wird das Vorzeichen von D mit exakter Ganzzahlarithmetik bestimmt (0,1x² + 0,2x + 0,1 = 0 wird daher korrekt als doppelte Lösung erkannt), und die Lösungen nutzen die numerisch stabile Variante der Formel, die keine Stellen verliert, wenn b² viel größer als 4ac ist.

• a, b, c: die Koeffizienten; a steht vor x² und darf nicht 0 sein, b steht vor x, c ist das absolute Glied.
• D (Diskriminante): Ihr Vorzeichen liefert die Anzahl reeller Lösungen (2, 1 oder 0); bei D < 0 lauten die Lösungen p ± qi mit p = −b/(2a) und q = √(−D)/(2|a|).
• ±: Das Minus liefert eine Lösung, das Plus die andere; der gesamte Zähler −b ± √D wird durch 2a geteilt.
• Scheitelpunkt S(d | e): Tiefpunkt bei a > 0, Hochpunkt bei a < 0; die Gerade x = d ist die Symmetrieachse.
• Satz von Vieta: x₁ + x₂ = −b/a und x₁ · x₂ = c/a, praktisch zur Probe oder um eine Lösung zu raten.
• Exakte Form: √D wird durch teilweises Wurzelziehen vereinfacht (√48 = 4√3), danach wird der Bruch durch den ggT seiner drei Terme gekürzt.

Beispiele mit Lösungen

Wofür braucht man einen Rechner für quadratische Gleichungen?

• Hausaufgaben und Klausuren: D, Lösungen und Scheitelpunktform einer Aufgabe Schritt für Schritt kontrollieren.
• Physik: Ein Ball, der aus 1,5 m Höhe mit 20 m/s senkrecht nach oben geworfen wird, hat die Höhe h(t) = −4,9t² + 20t + 1,5. Aus h(t) = 0 folgt t ≈ 4,155303 s (die zweite, negative Lösung entfällt); der Scheitelpunkt liefert die maximale Höhe von etwa 21,908163 m bei t ≈ 2,040816 s.
• Geometrie: Ein Rechteck mit Umfang 20 und Flächeninhalt 21 hat als Seitenlängen die Lösungen von x² − 10x + 21 = 0, also 3 und 7.
• Wirtschaft: Ein Gewinn G(q) = −2q² + 40q − 150 ist bei q = 5 und q = 15 null und bei q = 10 maximal (50), direkt am Scheitelpunkt ablesbar.
• Unterricht: Beispiele mit ganzzahligen Lösungen bauen und zeigen, wie a, b und c die Parabel verändern.

Häufige Fehler

• Das Vorzeichen von b vergessen: In x² − 3x + 2 ist b = −3, also −b = 3 und b² = (−3)² = 9, nicht −9.
• Nur einen Teil durch 2a teilen: Der gesamte Zähler −b ± √D wird geteilt, nicht nur √D.
• a, b, c ablesen, ohne vorher umzuformen: 2x² = 7x − 3 muss erst zu 2x² − 7x + 3 = 0 werden.
• Bei D < 0 „keine Lösung“ schreiben, ohne die Grundmenge anzugeben: In ℝ gibt es keine, in ℂ aber zwei konjugiert komplexe Lösungen.

Alle Berechnungen laufen lokal in Ihrem Browser: Es werden keine Daten gesendet. Dezimalwerte werden auf 6 Nachkommastellen gerundet; die exakte Form erscheint, solange der Betrag der Diskriminante (berechnet mit ganzzahlig gemachten Koeffizienten) unter 2⁵³ ≈ 9 · 10¹⁵ bleibt. Von 0 verschiedene Koeffizienten müssen betragsmäßig zwischen 10⁻¹⁰⁰ und 10¹⁰⁰ liegen.