Kwadratische vergelijking oplossen

Kwadratische vergelijkingen ax² + bx + c = 0 snel oplossen

Een kwadratische vergelijking heeft de vorm ax² + bx + c = 0 met a ≠ 0. Deze tool berekent de discriminant D, leidt daaruit het aantal oplossingen af, geeft de oplossingen als decimaal getal en in exacte vorm (vereenvoudigde wortels en breuken, complexe getallen) en tekent de parabool met nulpunten en top.

Kwadratische vergelijkingen komen aan bod in de onderbouw van havo en vwo en keren terug bij wiskunde A en B tot aan het eindexamen: ontbinden in factoren, kwadraat afsplitsen en de abc-formule leveren dezelfde oplossingen. Leerlingen controleren er hun huiswerk mee, docenten maken er uitwerkingen mee, en studenten natuurkunde, techniek of economie lossen er vergelijkingen uit echte problemen mee op: een verticale worp, het break-evenpunt, een oppervlakte.

1. Vul a, b en c in

   Typ de coëfficiënten in „a (coëfficiënt van x²)”, „b (coëfficiënt van x)” en „c (constante term)”. Decimale en negatieve getallen zijn toegestaan; de regel „Jouw vergelijking” toont hoe de vergelijking is gelezen.

2. Lees D en de oplossingen

   Het paarse kader toont de discriminant, wat het teken betekent (twee oplossingen, één dubbele of complexe oplossingen), x₁ en x₂ afgerond op 6 decimalen en de „Exacte vorm”. Met „Resultaat kopiëren” zet je alles op het klembord.

3. Gebruik de kaarten en de grafiek

   De kaarten tonen de top (p, q), de symmetrieas, het snijpunt met de y-as, de vorm (dal- of bergparabool), de som en het product van de oplossingen, de topvorm en de ontbonden vorm; de grafiek markeert de nulpunten, de top en het snijpunt met de y-as.

4. Open de uitwerking

   Klap „Uitwerking stap voor stap” open voor D met jouw getallen, de abc-formule met ingevulde waarden en de berekening van de top, klaar om over te nemen.

De methode: discriminant en abc-formule

Voor ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) bereken je eerst D = b² − 4ac. Is D > 0, dan zijn de oplossingen x₁ = (−b − √D)/(2a) en x₂ = (−b + √D)/(2a); is D = 0, dan is er één oplossing x = −b/(2a); is D < 0, dan zijn er geen reële oplossingen maar wel twee complex geconjugeerde.

Kwadraat afsplitsen geeft de topvorm a(x − p)² + q met p = −b/(2a) en q = −D/(4a): de parabool ontstaat uit y = x² door vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as met factor a (bij a < 0 dus ook gespiegeld) en verschuiving naar de top (p, q). Intern wordt het teken van D met exacte gehele getallen bepaald (daardoor wordt 0,1x² + 0,2x + 0,1 = 0 correct herkend als D = 0) en de oplossingen gebruiken de numeriek stabiele variant van de formule, die geen cijfers verliest als b² veel groter is dan 4ac.

• a, b, c: de coëfficiënten; a staat voor x² en is niet 0, b staat voor x, c is de constante term.
• D (discriminant): het teken geeft het aantal reële oplossingen (2, 1 of 0); bij D < 0 zijn de oplossingen p ± qi met p = −b/(2a) en q = √(−D)/(2|a|).
• ±: met min krijg je de ene oplossing, met plus de andere; de hele teller −b ± √D wordt door 2a gedeeld.
• Top (p, q): minimum bij een dalparabool (a > 0), maximum bij een bergparabool (a < 0); de lijn x = p is de symmetrieas.
• Som en product: x₁ + x₂ = −b/a en x₁ · x₂ = c/a, handig als controle of om met de som-productmethode te ontbinden.
• Exacte vorm: √D wordt vereenvoudigd door kwadraten buiten de wortel te halen (√48 = 4√3), daarna worden de drie termen van de breuk gedeeld door hun GGD.

Uitgewerkte voorbeelden

Toepassingen van kwadratische vergelijkingen

• Huiswerk en toetsen: D, de oplossingen en de topvorm van een opgave stap voor stap controleren.
• Natuurkunde: een bal die vanaf 1,5 m hoogte met 20 m/s recht omhoog wordt gegooid, heeft hoogte h(t) = −4,9t² + 20t + 1,5. Uit h(t) = 0 volgt t ≈ 4,155303 s (de andere, negatieve oplossing vervalt), en de top geeft een maximale hoogte van ongeveer 21,908163 m bij t ≈ 2,040816 s.
• Meetkunde: een rechthoek met omtrek 20 en oppervlakte 21 heeft als zijden de oplossingen van x² − 10x + 21 = 0, namelijk 3 en 7.
• Economie: een winst W(q) = −2q² + 40q − 150 is nul bij q = 5 en q = 15 en maximaal (50) bij q = 10, direct af te lezen aan de top.
• Lesgeven: voorbeelden met gehele oplossingen maken en in de klas laten zien hoe a, b en c de parabool veranderen.

Veelgemaakte fouten

• Het teken van b vergeten: in x² − 3x + 2 is b = −3, dus −b = 3 en b² = (−3)² = 9, niet −9.
• Alleen een deel door 2a delen: de hele teller −b ± √D wordt gedeeld, niet alleen √D.
• a, b, c aflezen zonder eerst te herleiden: 2x² = 7x − 3 moet eerst 2x² − 7x + 3 = 0 worden.
• „Geen oplossing” schrijven bij D < 0 zonder toelichting: er is geen reële oplossing, maar wel twee complex geconjugeerde.

Alle berekeningen gebeuren lokaal in je browser: er worden geen gegevens verstuurd. Decimale uitkomsten worden afgerond op 6 decimalen; de exacte vorm verschijnt zolang de absolute waarde van de discriminant (berekend met coëfficiënten omgezet naar gehele getallen) kleiner blijft dan 2⁵³ ≈ 9 · 10¹⁵. Coëfficiënten die niet 0 zijn, moeten in absolute waarde tussen 10⁻¹⁰⁰ en 10¹⁰⁰ liggen.