Calculadora de equação do 2º grau

Resolva qualquer equação do 2.º grau ax² + bx + c = 0

Uma equação do 2.º grau tem a forma ax² + bx + c = 0 com a ≠ 0. Esta calculadora obtém o discriminante Δ, deduz quantas soluções existem, dá as raízes em decimal e na forma exata (radicais simplificados, frações irredutíveis, números complexos) e desenha a parábola com as raízes e o vértice.

É matéria central do ensino básico e secundário em Portugal e dos anos finais do Ensino Fundamental e do Ensino Médio no Brasil, onde a fórmula resolvente é conhecida como fórmula de Bhaskara. Os alunos usam a ferramenta para conferir os trabalhos de casa, os professores para preparar resoluções, e quem estuda física, engenharia ou economia para resolver equações que surgem de problemas reais: lançamento vertical, ponto de equilíbrio, áreas.

1. Introduza a, b e c

   Escreva os coeficientes em «a (coeficiente de x²)», «b (coeficiente de x)» e «c (termo independente)». Aceitam-se decimais e negativos, e a linha «A sua equação» mostra a equação tal como foi lida.

2. Leia Δ e as soluções

   O quadro roxo mostra o discriminante, o significado do seu sinal (duas raízes, raiz dupla ou raízes complexas), x₁ e x₂ arredondadas a 6 casas decimais e a «Forma exata». O botão «Copiar resultado» copia tudo.

3. Use as fichas e o gráfico

   As fichas mostram o vértice (h, k), o eixo de simetria, a interseção com o eixo y, a concavidade, a soma e o produto das raízes, a forma canónica e a forma fatorizada; o gráfico assinala as raízes, o vértice e a interseção com o eixo y.

4. Abra a resolução passo a passo

   Expanda «Resolução passo a passo» para ver Δ calculado com os seus números, a fórmula resolvente (Bhaskara) com os valores substituídos e o cálculo do vértice, prontos a copiar.

O método: discriminante e fórmula de Bhaskara

Para ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0), calcula-se primeiro Δ = b² − 4ac. Se Δ > 0, as raízes são x₁ = (−b − √Δ)/(2a) e x₂ = (−b + √Δ)/(2a); se Δ = 0, a raiz dupla é x = −b/(2a); se Δ < 0, não há raízes reais, mas sim duas complexas conjugadas.

Completando o quadrado obtém-se a forma canónica a(x − h)² + k com h = −b/(2a) e k = −Δ/(4a): a parábola é a de y = x², dilatada verticalmente pelo fator a (e refletida se a < 0) e deslocada para o vértice (h, k). Internamente, o sinal de Δ é decidido com aritmética inteira exata (por isso 0,1x² + 0,2x + 0,1 = 0 é reconhecida como raiz dupla) e as raízes usam a variante numericamente estável da fórmula, que não perde algarismos quando b² é muito maior do que 4ac.

• a, b, c: os coeficientes; a multiplica x² e não pode ser zero, b multiplica x, c é o termo independente.
• Δ (discriminante): o sinal dá o número de raízes reais (2, 1 ou 0); se Δ < 0, as raízes são p ± qi com p = −b/(2a) e q = √(−Δ)/(2|a|).
• ±: o sinal menos dá uma raiz e o sinal mais a outra; todo o numerador −b ± √Δ é dividido por 2a.
• Vértice (h, k): mínimo da função se a > 0, máximo se a < 0; a reta x = h é o eixo de simetria.
• Soma e produto: x₁ + x₂ = −b/a e x₁ × x₂ = c/a (relações de Girard-Viète), úteis para conferir um resultado ou adivinhar uma raiz.
• Forma exata: √Δ é simplificada extraindo quadrados (√48 = 4√3) e a fração é reduzida pelo MDC dos seus três termos.

Exemplos resolvidos

Para que serve uma calculadora de equações do 2.º grau?

• Trabalhos de casa e testes: conferir Δ, as raízes e a forma canónica de um exercício, passo a passo.
• Física: uma bola lançada para cima a 20 m/s a partir de 1,5 m de altura segue h(t) = −4,9t² + 20t + 1,5. Resolver h(t) = 0 dá t ≈ 4,155303 s (a outra raiz, negativa, é descartada), e o vértice dá a altura máxima de cerca de 21,908163 m em t ≈ 2,040816 s.
• Geometria: um retângulo de perímetro 20 e área 21 tem como lados as raízes de x² − 10x + 21 = 0, ou seja, 3 e 7.
• Economia: um lucro L(q) = −2q² + 40q − 150 anula-se em q = 5 e q = 15 e é máximo (50) em q = 10, valor lido diretamente no vértice.
• Ensino: criar exemplos com raízes inteiras e mostrar na aula como a, b e c deformam a parábola.

Erros frequentes

• Esquecer o sinal de b: em x² − 3x + 2, b = −3, logo −b = 3 e b² = (−3)² = 9, não −9.
• Dividir só uma parte por 2a: divide-se todo o numerador −b ± √Δ, não apenas √Δ.
• Ler a, b, c sem reorganizar: 2x² = 7x − 3 tem de ser escrita primeiro como 2x² − 7x + 3 = 0.
• Escrever «não tem solução» quando Δ < 0: não tem em ℝ, mas tem duas soluções complexas conjugadas.

Todos os cálculos são feitos localmente no seu navegador: nenhum dado é enviado. Os resultados decimais são arredondados a 6 casas decimais; a forma exata é apresentada enquanto o valor absoluto do discriminante, calculado com os coeficientes convertidos em inteiros, for inferior a 2⁵³ ≈ 9 × 10¹⁵. Os coeficientes não nulos devem estar entre 10⁻¹⁰⁰ e 10¹⁰⁰ em valor absoluto.