Standaardafwijking berekenen
Standaardafwijking, variantie, gemiddelde, mediaan en kwartielen.
- Direct
- Gratis
- Privé (lokaal verwerkt)
- Zonder registratie
Wat is de standaardafwijking?
Twee klassen kunnen allebei gemiddeld een 6,8 halen en toch totaal verschillen: in de ene ligt bijna elk cijfer rond de 6,8, in de andere lopen ze van 3 tot 10. Het gemiddelde zegt niets over die spreiding; de standaardafwijking meet die wel. Ze is de wortel uit de variantie, (vrijwel) het gemiddelde van de gekwadrateerde afwijkingen tot het gemiddelde, en geeft aan hoe ver de waarden doorgaans van het gemiddelde liggen, in dezelfde eenheid als je gegevens (punten, centimeters, euro’s, seconden).
Deze calculator geeft in één keer alle beschrijvende statistiek van een reeks: aantal, som, gemiddelde, mediaan, modus, minimum, maximum, spreidingsbreedte, kwartielen, interkwartielafstand, variantie en standaardafwijking (voor de populatie σ en de steekproef s), variatiecoëfficiënt en standaardfout. Handig voor havo- en vwo-leerlingen met wiskunde A, studenten psychologie, biologie of economie, docenten die een toets analyseren, kwaliteitsmedewerkers en onderzoekers.
-
Plak of typ je gegevens
Vul in het veld “Je gegevens” getallen in, gescheiden door komma’s, spaties, puntkomma’s of regeleinden, of plak meteen een kolom uit Excel. De teller “Gelezen waarden” bevestigt wat er herkend is.
-
Kies Steekproef of Populatie
“Steekproef (n − 1)” staat standaard aan en past bij gegevens die een deel van de groep zijn; “Populatie (n)” als je alle waarden hebt. Het hoofdresultaat en de variatiecoëfficiënt volgen die keuze.
-
Lees de statistieken af
De standaardafwijking staat groot in beeld met de bijbehorende variantie, alle andere maten in het raster eronder; de boxplot toont de waarden, mediaan, kwartielen, gemiddelde en de band ± 1 standaardafwijking.
-
Controleer de berekening en kopieer
Open “Berekening stap voor stap” om elke afwijking van het gemiddelde en het kwadraat ervan te zien, en gebruik “Kopiëren” of “Alles kopiëren” om de resultaten mee te nemen.
Standaardafwijking berekenen: de formules
Eerst bereken je het gemiddelde x̄ = Σx ÷ n, daarna de som van de gekwadrateerde afwijkingen SS = Σ(x − x̄)². De populatievariantie is σ² = SS ÷ n en de steekproefvariantie s² = SS ÷ (n − 1). De standaardafwijking is de vierkantswortel van de variantie: σ = √σ² en s = √s².
Voor 2; 4; 4; 4; 5; 5; 7; 9 geldt x̄ = 40 ÷ 8 = 5, de afwijkingen zijn −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2 en 4, hun kwadraten 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4 en 16, dus SS = 32, σ² = 32 ÷ 8 = 4, σ = 2, s² = 32 ÷ 7 ≈ 4,571429 en s ≈ 2,13809.
- x: elke waarde in de reeks; n: het aantal waarden.
- x̄ (“x-streep”): het rekenkundig gemiddelde; Σ (hoofdletter sigma): “de som van”.
- x − x̄: de afwijking van een waarde tot het gemiddelde; die afwijkingen tellen altijd op tot 0, daarom worden ze gekwadrateerd.
- σ² en σ: populatievariantie en -standaardafwijking (delen door n), in Excel VAR.P en STDEV.P.
- s² en s: steekproefvariantie en -standaardafwijking (delen door n − 1, correctie van Bessel), in Excel VAR.S en STDEV.S.
- Q1, Q3: eerste en derde kwartiel, via inclusieve lineaire interpolatie (KWARTIEL.INC); IKA = Q3 − Q1 is de interkwartielafstand.
- CV = s ÷ |x̄| × 100 (σ in populatiemodus) en standaardfout = s ÷ √n.
Rekenvoorbeelden van de standaardafwijking
Elke rij is berekend met de calculator hierboven en afgerond zoals op het scherm (hoogstens 6 decimalen).
| Gegevens | n | Gemiddelde x̄ | Mediaan | s (n − 1) | σ (n) |
|---|---|---|---|---|---|
| 2; 4; 4; 4; 5; 5; 7; 9 | 8 | 5 | 4,5 | 2,13809 | 2 |
| 10; 12; 23; 23; 16; 23; 21; 16 | 8 | 18 | 18,5 | 5,237229 | 4,898979 |
| 1,5; 2,5; 3,5 | 3 | 2,5 | 2,5 | 1 | 0,816497 |
| 12; 15; 9; 18; 11 | 5 | 13 | 12 | 3,535534 | 3,162278 |
| −3; 0; 2; 5; 1 | 5 | 1 | 1 | 2,915476 | 2,607681 |
| 7 | 1 | 7 | 7 | niet gedefinieerd | 0 |
Eerste reeks: modus 4 (frequentie 3), Q1 = 4, Q3 = 5,5, spreidingsbreedte 7, CV 42,76%.
Waarvoor gebruik je de standaardafwijking?
- Cijfers en toetsen: vergelijken hoe gelijkmatig twee klassen met hetzelfde gemiddelde scoren, of een te selectieve toets opsporen.
- Practica natuurkunde en scheikunde: herhaalde metingen noteren als x̄ ± s, of als x̄ ± s ÷ √n (de standaardfout) als het om de nauwkeurigheid van het gemiddelde gaat.
- Kwaliteitscontrole: de spreiding van een productmaat bewaken en regelgrenzen op x̄ ± 3σ leggen, zoals op een Shewhart-regelkaart.
- Financiën: de volatiliteit van een aandeel of fonds is de standaardafwijking van de rendementen, meestal op jaarbasis.
- Sport, gezondheid en weer: regelmaat van je looptijden, schommelingen in bloedsuiker of dagtemperaturen.
Veelgemaakte fouten
- σ (delen door n) gebruiken voor een steekproef: de spreiding wordt onderschat, vooral bij een kleine n.
- Het gemiddelde te vroeg afronden: als je x̄ afrondt voordat je de afwijkingen kwadrateert, zit die fout in elke term; reken tot de laatste stap met volledige nauwkeurigheid.
- Standaardafwijking en standaardfout verwarren: de eerste beschrijft de gegevens, de tweede de nauwkeurigheid van het gemiddelde en wordt kleiner naarmate n groeit.
- Varianties vergelijken alsof het standaardafwijkingen zijn: variantie heeft gekwadrateerde eenheden (cm², €²); alleen de standaardafwijking heeft de eenheid van de gegevens.
- Getallen met duizendtalscheiding plakken: “1.234,5” wordt in twee waarden opgesplitst en “1.234” als 1,234 gelezen (een punt is altijd een decimaalteken); haal de duizendtalpunten dus eerst weg.
Alle berekeningen gebeuren lokaal in je browser: er worden geen gegevens verstuurd of opgeslagen. Resultaten worden afgerond op 6 decimalen (6 significante cijfers voor waarden kleiner dan 1) en berekend met dubbele precisie (ongeveer 15 significante cijfers); de kwartielen volgen de conventie KWARTIEL.INC, dus sommige lesboeken geven licht afwijkende waarden. Met één waarde is de steekproefstandaardafwijking niet gedefinieerd.
Veelgestelde vragen
Standaardafwijking van een steekproef of van de populatie: welke kies ik?
Neem de steekproefstandaardafwijking s (delen door n − 1) als je gegevens een deel van een grotere groep zijn, zoals 30 leerlingen van een hele school of 20 onderdelen uit een productie. De populatiestandaardafwijking σ (delen door n) past alleen als je alle waarden van de onderzochte groep hebt. Voor 2; 4; 4; 4; 5; 5; 7; 9 krijg je s ≈ 2,13809 en σ = 2.
Waarom delen door n − 1?
Dat is de correctie van Bessel. Het gemiddelde x̄ wordt uit dezelfde gegevens berekend, en de som van de gekwadrateerde afwijkingen tot x̄ is nooit groter dan die tot het echte populatiegemiddelde; delen door n zou de variantie dus onderschatten. Omdat de afwijkingen tot x̄ altijd optellen tot 0, zijn er maar n − 1 vrij (de vrijheidsgraden). Delen door n − 1 maakt de variantie zuiver; bij 8 waarden wordt ze vermenigvuldigd met 8/7 ≈ 1,143, zodat 4 verandert in 4,571429. De standaardafwijking s, de wortel daarvan, is nog heel licht onzuiver, maar wel de gangbare schatter.
Hoe interpreteer je een standaardafwijking?
Het is de typische afstand tussen een waarde en het gemiddelde, in dezelfde eenheid als de gegevens: hoe groter, hoe meer spreiding. Bij ongeveer normaal verdeelde gegevens ligt zo’n 68% van de waarden binnen 1 standaardafwijking van het gemiddelde, 95% binnen 2 en 99,7% binnen 3. Met een gemiddeld cijfer van 6,8 en een standaardafwijking van 1,2 ligt dus ongeveer twee derde van de cijfers tussen 5,6 en 8,0.
Hoe bereken je de standaardafwijking in Excel of op de rekenmachine?
Gebruik in Excel =STDEV.S(A2:A21) voor een steekproef (s) en =STDEV.P(A2:A21) voor de hele populatie (σ); de bijbehorende varianties zijn VAR.S en VAR.P. Op de grafische rekenmachine staat Sx voor de standaardafwijking van een steekproef en σx voor die van de populatie. Ter controle kun je de kolom hier plakken: decimale komma’s worden herkend, dus “1,5; 2,5; 3,5” of een kolom met die drie getallen geeft gemiddelde 2,5 en s = 1. Een punt is altijd een decimaalteken en alles wat geen getal is, verschijnt als genegeerde invoer zonder de berekening te breken.
Welke methode gebruikt de calculator voor kwartielen?
De inclusieve methode met lineaire interpolatie, gelijk aan KWARTIEL.INC in Excel en de standaard van NumPy: Q1 staat op positie 1 + 0,25 × (n − 1) in de gesorteerde lijst en Q3 op positie 1 + 0,75 × (n − 1). Voor 2; 4; 4; 4; 5; 5; 7; 9 geeft dat Q1 = 4 en Q3 = 5,5. In veel schoolboeken neemt men de mediaan van elke helft (hier Q3 = 6) en KWARTIEL.EXC geeft 6,5, dus kleine verschillen tussen programma’s zijn normaal.
Waarvoor dienen de variatiecoëfficiënt en de standaardfout?
De variatiecoëfficiënt (CV = standaardafwijking ÷ |gemiddelde| × 100) drukt de spreiding uit in procenten en maakt reeksen met verschillende eenheden of schalen vergelijkbaar: voor de voorbeeldgegevens (gemiddelde 5, s ≈ 2,13809) is CV = 2,13809 ÷ 5 ≈ 42,76%. De standaardfout van het gemiddelde (s ÷ √n) geeft aan hoe nauwkeurig het gemiddelde zelf is: 2,13809 ÷ √8 ≈ 0,755929. Als het gemiddelde 0 is, wordt de CV niet getoond, omdat die dan geen betekenis heeft.