Calculadora de desvio padrão
Desvio padrão, variância, média, mediana e quartis dos seus dados.
- Instantânea
- Grátis
- Privada (processada localmente)
- Sem registo
O que é o desvio padrão?
Duas turmas podem ter a mesma média de 13 valores e não se parecerem nada: numa, todas as notas andam à volta de 13; na outra, vão de 5 a 20. A média não diz nada sobre essa dispersão; o desvio padrão mede-a. É a raiz quadrada da variância, que é (quase exatamente) a média dos quadrados dos desvios em relação à média: indica quanto os valores se afastam tipicamente da média, na mesma unidade dos dados (pontos, centímetros, euros, segundos).
Esta calculadora dá de uma só vez toda a estatística descritiva de uma série: número de dados, soma, média, mediana, moda, mínimo, máximo, amplitude, quartis, amplitude interquartil, variância e desvio padrão (populacional σ e amostral s), coeficiente de variação e erro padrão. É útil para alunos do secundário (MACS e Matemática A), estudantes universitários de psicologia, biologia ou gestão, professores que analisam um teste, técnicos de qualidade e investigadores.
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Cole ou escreva os seus dados
No campo «Os seus dados», escreva os números separados por vírgulas, espaços, ponto e vírgula ou mudanças de linha, ou cole diretamente uma coluna do Excel. O contador «Valores lidos» confirma o que foi entendido.
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Escolha Amostra ou População
«Amostra (n − 1)», selecionada por defeito, serve quando os dados são uma parte; «População (n)», quando tem todos os valores. O resultado principal e o coeficiente de variação seguem esta escolha.
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Leia as estatísticas
O desvio padrão aparece em destaque com a sua variância e as restantes medidas na grelha; o diagrama de extremos e quartis mostra os valores, a mediana, os quartis, a média e a faixa de ± 1 desvio padrão.
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Verifique o cálculo e copie
Abra «Cálculo passo a passo» para ver cada desvio em relação à média e o seu quadrado, e use «Copiar» ou «Copiar tudo» para levar os resultados.
Como calcular a variância e o desvio padrão
Primeiro calcula-se a média x̄ = Σx ÷ n e depois a soma dos quadrados dos desvios SQ = Σ(x − x̄)². A variância populacional é σ² = SQ ÷ n e a amostral s² = SQ ÷ (n − 1). O desvio padrão é a raiz quadrada da variância: σ = √σ² e s = √s².
Com 2; 4; 4; 4; 5; 5; 7; 9: x̄ = 40 ÷ 8 = 5, os desvios são −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2 e 4, os seus quadrados 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4 e 16, logo SQ = 32, σ² = 32 ÷ 8 = 4, σ = 2, s² = 32 ÷ 7 ≈ 4,571429 e s ≈ 2,13809.
- x: cada valor da série; n: o número de dados (dimensão da amostra).
- x̄ («x barra»): a média aritmética; Σ (sigma maiúsculo): «soma de».
- x − x̄: o desvio de um valor em relação à média; estes desvios somam sempre 0, por isso são elevados ao quadrado.
- σ² e σ: variância e desvio padrão populacionais (divide-se por n), funções VAR.P e DESVPAD.P do Excel.
- s² e s: variância e desvio padrão amostrais (divide-se por n − 1, correção de Bessel), funções VAR.S e DESVPAD.S.
- Q1, Q3: primeiro e terceiro quartis, por interpolação linear inclusiva (QUARTIL.INC); AIQ = Q3 − Q1 é a amplitude interquartil.
- CV = s ÷ |x̄| × 100 (σ no modo população) e erro padrão = s ÷ √n.
Exemplos de cálculo do desvio padrão
Cada linha foi obtida com a calculadora acima e está arredondada tal como no ecrã (no máximo 6 casas decimais).
| Dados | n | Média x̄ | Mediana | s (n − 1) | σ (n) |
|---|---|---|---|---|---|
| 2; 4; 4; 4; 5; 5; 7; 9 | 8 | 5 | 4,5 | 2,13809 | 2 |
| 10; 12; 23; 23; 16; 23; 21; 16 | 8 | 18 | 18,5 | 5,237229 | 4,898979 |
| 1,5; 2,5; 3,5 | 3 | 2,5 | 2,5 | 1 | 0,816497 |
| 12; 15; 9; 18; 11 | 5 | 13 | 12 | 3,535534 | 3,162278 |
| −3; 0; 2; 5; 1 | 5 | 1 | 1 | 2,915476 | 2,607681 |
| 7 | 1 | 7 | 7 | não definido | 0 |
Primeira série: moda 4 (frequência 3), Q1 = 4, Q3 = 5,5, amplitude 7, CV 42,76%.
Para que serve o desvio padrão
- Notas e testes: comparar a homogeneidade de duas turmas com a mesma média ou detetar um teste demasiado seletivo.
- Atividades laboratoriais: apresentar medições repetidas como x̄ ± s, ou como x̄ ± s ÷ √n (o erro padrão) quando interessa a precisão da média.
- Controlo de qualidade: vigiar a dispersão de uma cota e fixar limites de controlo em x̄ ± 3σ, como numa carta de controlo de Shewhart.
- Finanças: a volatilidade de uma ação ou de um fundo é o desvio padrão das suas rentabilidades, normalmente anualizado.
- Desporto, saúde e meteorologia: regularidade dos seus tempos de corrida, variabilidade da glicemia ou das temperaturas diárias.
Erros frequentes
- Usar σ (dividir por n) numa amostra: a dispersão fica subestimada, sobretudo quando n é pequeno.
- Arredondar a média cedo demais: se x̄ for arredondada antes de elevar os desvios ao quadrado, o erro entra em todas as parcelas; mantenha a precisão total até ao último passo.
- Confundir desvio padrão e erro padrão: o primeiro descreve os dados, o segundo a precisão da média e diminui quando n aumenta.
- Comparar variâncias como se fossem desvios padrão: a variância está em unidades ao quadrado (cm², €²); só o desvio padrão se lê na unidade dos dados.
- Colar números com separador de milhares: «1.234,5» seria partido em dois valores e «1.234» lido como 1,234 (o ponto é sempre decimal); retire primeiro os separadores de milhares.
Todos os cálculos são feitos localmente no seu navegador: nenhum dado é enviado ou guardado. Os resultados são arredondados a 6 casas decimais (6 algarismos significativos para valores inferiores a 1), com cálculos em precisão dupla (cerca de 15 algarismos significativos); os quartis seguem a convenção QUARTIL.INC, pelo que alguns manuais podem dar valores ligeiramente diferentes. Com um único valor, o desvio padrão amostral não está definido.
Perguntas frequentes
Desvio padrão amostral ou populacional: qual usar?
Use o desvio padrão amostral s (divide-se por n − 1) quando os dados são uma parte de um grupo maior, como 30 alunos de uma escola inteira ou 20 peças de uma produção. Use o populacional σ (divide-se por n) apenas quando tem todos os valores do grupo estudado. Para 2; 4; 4; 4; 5; 5; 7; 9 obtém-se s ≈ 2,13809 e σ = 2.
Porque se divide por n − 1?
É a correção de Bessel. A média x̄ é calculada com os mesmos dados, e a soma dos quadrados dos desvios em relação a x̄ nunca é maior do que a soma calculada com a verdadeira média da população; dividir por n subestimaria, portanto, a variância. Como os desvios em relação a x̄ somam sempre 0, só n − 1 deles são livres (os graus de liberdade). Dividir por n − 1 torna a variância não enviesada; com 8 dados multiplica-a por 8/7 ≈ 1,143, e 4 passa a 4,571429. O desvio padrão s, a sua raiz quadrada, mantém um enviesamento muito pequeno, mas é o estimador usado em toda a parte.
Como se interpreta o desvio padrão?
É a distância típica entre um valor e a média, na mesma unidade dos dados: quanto maior, mais dispersos estão os valores. Numa distribuição aproximadamente normal (em forma de sino), cerca de 68% dos valores estão a menos de 1 desvio padrão da média, 95% a menos de 2 e 99,7% a menos de 3. Com uma média de 14 valores e um desvio padrão de 2, cerca de dois terços das notas ficam entre 12 e 16.
Como calcular o desvio padrão no Excel ou na calculadora?
No Excel, use =DESVPAD.S(A2:A21) para uma amostra (s) e =DESVPAD.P(A2:A21) para toda a população (σ); as variâncias correspondentes são VAR.S e VAR.P (no Excel em português do Brasil, as versões amostrais chamam-se DESVPAD.A e VAR.A). Na calculadora gráfica, σx é o desvio padrão populacional e sx o amostral. Para confirmar, cole aqui a coluna: as vírgulas decimais são reconhecidas, e «1,5; 2,5; 3,5» ou uma coluna com esses três números dá média 2,5 e s = 1. O ponto é sempre decimal e o que não for número aparece como entrada ignorada, sem interromper o cálculo.
Que método de cálculo dos quartis é usado?
O método inclusivo com interpolação linear, igual ao QUARTIL.INC do Excel e ao predefinido do NumPy: Q1 fica na posição 1 + 0,25 × (n − 1) da lista ordenada e Q3 na posição 1 + 0,75 × (n − 1). Para 2; 4; 4; 4; 5; 5; 7; 9 dá Q1 = 4 e Q3 = 5,5. Muitos manuais usam a mediana de cada metade (aqui Q3 = 6) e o QUARTIL.EXC dá 6,5, por isso pequenas diferenças entre ferramentas são normais.
Para que servem o coeficiente de variação e o erro padrão?
O coeficiente de variação (CV = desvio padrão ÷ |média| × 100) exprime a dispersão em percentagem e permite comparar séries com unidades ou escalas diferentes: com os dados de exemplo (média 5, s ≈ 2,13809), CV = 2,13809 ÷ 5 ≈ 42,76%. O erro padrão da média (s ÷ √n) indica a precisão da própria média: 2,13809 ÷ √8 ≈ 0,755929. O CV não é mostrado quando a média é 0, porque deixaria de ter sentido.