Standardabweichung berechnen
Standardabweichung, Varianz, Mittelwert, Median und Quartile Ihrer Daten.
- Sofort
- Kostenlos
- Privat (lokal verarbeitet)
- Ohne Anmeldung
Was ist die Standardabweichung?
Zwei Klassen können denselben Notendurchschnitt von 2,8 haben und sich trotzdem völlig unterscheiden: In der einen liegen fast alle Noten bei 3, in der anderen reichen sie von 1 bis 6. Der Mittelwert sagt über diese Streuung nichts aus; die Standardabweichung misst sie. Sie ist die Wurzel aus der Varianz, also (fast genau) aus dem Mittel der quadrierten Abweichungen vom Mittelwert, und gibt an, wie weit die Werte typischerweise vom Mittelwert entfernt liegen, und zwar in derselben Einheit wie die Daten (Punkte, Zentimeter, Euro, Sekunden).
Dieser Rechner liefert die komplette deskriptive Statistik einer Datenreihe auf einen Blick: Anzahl, Summe, Mittelwert, Median, Modalwert, Minimum, Maximum, Spannweite, Quartile, Interquartilsabstand, Varianz und Standardabweichung (für die Grundgesamtheit σ und die Stichprobe s), Variationskoeffizient und Standardfehler. Er hilft Schülerinnen und Schülern der Oberstufe, Studierenden in Psychologie, BWL oder Biologie, Lehrkräften bei der Auswertung einer Klassenarbeit, Qualitätsingenieuren und Forschenden.
-
Daten einfügen oder eintippen
Geben Sie im Feld „Ihre Daten“ Zahlen ein, getrennt durch Kommas, Leerzeichen, Semikolons oder Zeilenumbrüche, oder fügen Sie direkt eine Excel-Spalte ein. Der Zähler „Erkannte Werte“ zeigt, was gelesen wurde.
-
Stichprobe oder Grundgesamtheit wählen
„Stichprobe (n − 1)“ ist voreingestellt und passt, wenn Ihre Daten ein Ausschnitt sind; „Grundgesamtheit (n)“, wenn alle Werte vorliegen. Das Hauptergebnis und der Variationskoeffizient folgen dieser Wahl.
-
Kennzahlen ablesen
Die Standardabweichung erscheint groß mit ihrer Varianz, alle weiteren Kennzahlen im Raster darunter; der Boxplot zeigt die Werte, Median, Quartile, Mittelwert und das Band ± 1 Standardabweichung.
-
Rechenweg prüfen und kopieren
Öffnen Sie „Rechenweg Schritt für Schritt“, um jede Abweichung vom Mittelwert und ihr Quadrat zu sehen, und übernehmen Sie die Ergebnisse mit „Kopieren“ oder „Alles kopieren“.
Standardabweichung berechnen: die Formeln
Zuerst wird der Mittelwert x̄ = Σx ÷ n berechnet, dann die Summe der Abweichungsquadrate SQ = Σ(x − x̄)². Die Varianz der Grundgesamtheit ist σ² = SQ ÷ n, die Stichprobenvarianz s² = SQ ÷ (n − 1). Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz: σ = √σ² und s = √s².
Für 2; 4; 4; 4; 5; 5; 7; 9 gilt: x̄ = 40 ÷ 8 = 5, die Abweichungen sind −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2 und 4, ihre Quadrate 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4 und 16, also SQ = 32, σ² = 32 ÷ 8 = 4, σ = 2, s² = 32 ÷ 7 ≈ 4,571429 und s ≈ 2,13809.
- x: jeder einzelne Wert; n: die Anzahl der Werte (Stichprobenumfang).
- x̄ („x quer“): das arithmetische Mittel; Σ (großes Sigma): „Summe von“.
- x − x̄: die Abweichung eines Werts vom Mittelwert; diese Abweichungen summieren sich immer zu 0, deshalb werden sie quadriert.
- σ² und σ: Varianz und Standardabweichung der Grundgesamtheit (Division durch n), in Excel VAR.P und STABW.N.
- s² und s: Stichprobenvarianz und Stichproben-Standardabweichung (Division durch n − 1, Bessel-Korrektur), in Excel VAR.S und STABW.S.
- Q1, Q3: unteres und oberes Quartil, inklusive lineare Interpolation (QUARTILE.INKL); IQR = Q3 − Q1 ist der Interquartilsabstand.
- VK = s ÷ |x̄| × 100 (σ im Modus Grundgesamtheit) und Standardfehler = s ÷ √n.
Beispiele zur Standardabweichung
Jede Zeile wurde mit dem Rechner oben erzeugt und genau wie auf dem Bildschirm gerundet (höchstens 6 Nachkommastellen).
| Daten | n | Mittelwert x̄ | Median | s (n − 1) | σ (n) |
|---|---|---|---|---|---|
| 2; 4; 4; 4; 5; 5; 7; 9 | 8 | 5 | 4,5 | 2,13809 | 2 |
| 10; 12; 23; 23; 16; 23; 21; 16 | 8 | 18 | 18,5 | 5,237229 | 4,898979 |
| 1,5; 2,5; 3,5 | 3 | 2,5 | 2,5 | 1 | 0,816497 |
| 12; 15; 9; 18; 11 | 5 | 13 | 12 | 3,535534 | 3,162278 |
| −3; 0; 2; 5; 1 | 5 | 1 | 1 | 2,915476 | 2,607681 |
| 7 | 1 | 7 | 7 | nicht definiert | 0 |
Erste Reihe: Modalwert 4 (Häufigkeit 3), Q1 = 4, Q3 = 5,5, Spannweite 7, VK 42,76 %.
Wofür man die Standardabweichung braucht
- Noten und Klassenarbeiten: vergleichen, wie einheitlich zwei Klassen mit gleichem Durchschnitt abschneiden, oder erkennen, ob eine Arbeit sehr stark gestreut hat.
- Physik- und Chemiepraktikum: wiederholte Messungen als x̄ ± s angeben, oder als x̄ ± s ÷ √n (Standardfehler), wenn es um die Genauigkeit des Mittelwerts geht.
- Qualitätssicherung: die Streuung eines Fertigungsmaßes überwachen und Eingriffsgrenzen bei x̄ ± 3σ festlegen, wie bei einer Shewhart-Regelkarte.
- Finanzen: Die Volatilität einer Aktie oder eines Fonds ist die (meist annualisierte) Standardabweichung ihrer Renditen.
- Sport, Gesundheit, Wetter: Gleichmäßigkeit Ihrer Laufzeiten, Schwankungen des Blutzuckers oder der Tagestemperaturen.
Häufige Fehler
- σ (Division durch n) für eine Stichprobe verwenden: Die Streuung wird unterschätzt, vor allem bei kleinem n.
- Den Mittelwert zu früh runden: Wird x̄ vor dem Quadrieren gerundet, steckt der Fehler in jedem Summanden; rechnen Sie bis zum letzten Schritt mit voller Genauigkeit.
- Standardabweichung und Standardfehler verwechseln: Die erste beschreibt die Daten, der zweite die Genauigkeit des Mittelwerts und sinkt mit wachsendem n.
- Varianzen wie Standardabweichungen vergleichen: Die Varianz hat quadrierte Einheiten (cm², €²); nur die Standardabweichung hat die Einheit der Daten.
- Zahlen mit Tausendertrennzeichen einfügen: „1.234,5“ würde in zwei Werte zerlegt und „1.234“ als 1,234 gelesen (der Punkt gilt immer als Dezimalpunkt); entfernen Sie die Tausenderpunkte vorher.
Alle Berechnungen laufen lokal in Ihrem Browser: Es werden keine Daten gesendet oder gespeichert. Die Ergebnisse werden auf 6 Nachkommastellen gerundet (bei Werten unter 1 auf 6 signifikante Stellen), gerechnet wird mit doppelter Genauigkeit (etwa 15 signifikante Stellen); die Quartile folgen der Konvention QUARTILE.INKL, manche Lehrbücher liefern daher leicht abweichende Werte. Bei nur einem Wert ist die Stichproben-Standardabweichung nicht definiert.
Häufige Fragen
Stichprobe oder Grundgesamtheit: Welche Standardabweichung nehme ich?
Nehmen Sie die Stichproben-Standardabweichung s (Division durch n − 1), wenn Ihre Werte nur ein Ausschnitt einer größeren Gruppe sind, etwa 30 Schüler einer ganzen Schule oder 20 Teile aus einer Produktion. Die Standardabweichung der Grundgesamtheit σ (Division durch n) passt nur, wenn alle Werte der untersuchten Gruppe vorliegen. Für 2; 4; 4; 4; 5; 5; 7; 9 ergibt sich s ≈ 2,13809 und σ = 2.
Warum teilt man durch n − 1?
Das ist die Bessel-Korrektur. Der Mittelwert x̄ wird aus denselben Daten berechnet, und die Summe der quadrierten Abweichungen von x̄ ist nie größer als die Summe der quadrierten Abweichungen vom wahren Mittelwert der Grundgesamtheit; eine Division durch n würde die Varianz also unterschätzen. Da sich die Abweichungen von x̄ immer zu 0 summieren, sind nur n − 1 von ihnen frei (die Freiheitsgrade). Die Division durch n − 1 macht die Varianz erwartungstreu; bei 8 Werten wird sie mit 8/7 ≈ 1,143 multipliziert, aus 4 wird 4,571429. Die Standardabweichung s als ihre Wurzel ist zwar minimal verzerrt, aber der übliche Schätzer.
Wie interpretiert man die Standardabweichung?
Sie ist der typische Abstand eines Werts vom Mittelwert, in derselben Einheit wie die Daten: Je größer sie ist, desto stärker streuen die Werte. Bei annähernd normalverteilten Daten liegen etwa 68 % der Werte innerhalb von 1 Standardabweichung um den Mittelwert, 95 % innerhalb von 2 und 99,7 % innerhalb von 3. Beim IQ (Mittelwert 100, Standardabweichung 15) liegen also rund zwei Drittel der Menschen zwischen 85 und 115.
Wie berechnet man die Standardabweichung in Excel oder mit dem Taschenrechner?
In Excel verwenden Sie =STABW.S(A2:A21) für eine Stichprobe (s) und =STABW.N(A2:A21) für die Grundgesamtheit (σ); die zugehörigen Varianzen heißen VAR.S und VAR.P. Auf dem Taschenrechner steht σx meist für die Grundgesamtheit und sx für die Stichprobe. Zur Kontrolle können Sie die Spalte hier einfügen: Dezimalkommas werden erkannt, „1,5; 2,5; 3,5“ oder eine Spalte mit diesen drei Zahlen ergibt den Mittelwert 2,5 und s = 1. Ein Punkt ist immer ein Dezimalpunkt, und alles, was keine Zahl ist, erscheint als ignorierter Eintrag, statt die Rechnung abzubrechen.
Nach welcher Methode werden die Quartile berechnet?
Nach der inklusiven Methode mit linearer Interpolation, wie QUARTILE.INKL in Excel und standardmäßig in NumPy: Q1 liegt an Position 1 + 0,25 × (n − 1) der sortierten Liste, Q3 an Position 1 + 0,75 × (n − 1). Für 2; 4; 4; 4; 5; 5; 7; 9 ergibt das Q1 = 4 und Q3 = 5,5. In vielen Schulbüchern nimmt man stattdessen den Median jeder Hälfte (hier Q3 = 6), und QUARTILE.EXKL liefert 6,5; kleine Unterschiede zwischen Programmen sind daher normal.
Wozu dienen Variationskoeffizient und Standardfehler?
Der Variationskoeffizient (VK = Standardabweichung ÷ |Mittelwert| × 100) drückt die Streuung in Prozent aus und macht Reihen mit unterschiedlichen Einheiten oder Größenordnungen vergleichbar: Für die Beispieldaten (Mittelwert 5, s ≈ 2,13809) ist VK = 2,13809 ÷ 5 ≈ 42,76 %. Der Standardfehler des Mittelwerts (s ÷ √n) gibt an, wie genau der Mittelwert selbst bestimmt ist: 2,13809 ÷ √8 ≈ 0,755929. Ist der Mittelwert 0, wird der VK nicht angezeigt, weil er dann keinen Sinn ergibt.