Calcolo della deviazione standard
Deviazione standard, varianza, media, mediana e quartili dei tuoi dati.
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Che cos’è la deviazione standard
Due classi possono avere la stessa media del 6,5 ed essere completamente diverse: in una tutti i voti stanno intorno al 6,5, nell’altra vanno dal 3 al 10. La media non dice nulla di questa dispersione; la deviazione standard (o scarto quadratico medio) la misura. È la radice quadrata della varianza, cioè (quasi esattamente) della media dei quadrati degli scarti dalla media: indica di quanto i valori si allontanano tipicamente dalla media, nella stessa unità dei dati (punti, centimetri, euro, secondi).
Questo calcolatore restituisce in un colpo solo tutta la statistica descrittiva di una serie: numerosità, somma, media, mediana, moda, minimo, massimo, campo di variazione, quartili, scarto interquartile, varianza e deviazione standard (della popolazione σ e campionaria s), coefficiente di variazione ed errore standard. È pensato per gli studenti delle superiori, gli universitari di psicologia, biologia o economia, i docenti che analizzano una verifica, i tecnici della qualità e i ricercatori.
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Incolla o scrivi i tuoi dati
Nel campo «I tuoi dati» inserisci i numeri separati da virgole, spazi, punti e virgola o a capo, oppure incolla direttamente una colonna di Excel. Il contatore «Valori letti» conferma ciò che è stato riconosciuto.
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Scegli Campione o Popolazione
«Campione (n − 1)», attivo per impostazione predefinita, va bene quando i dati sono una parte; «Popolazione (n)», quando hai tutti i valori. Il risultato principale e il coefficiente di variazione seguono questa scelta.
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Leggi le statistiche
La deviazione standard compare in grande con la sua varianza, le altre misure nella griglia; il box plot mostra i valori, la mediana, i quartili, la media e la fascia ± 1 deviazione standard.
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Controlla il calcolo e copia
Apri «Calcolo passo per passo» per vedere ogni scarto dalla media e il suo quadrato, poi usa «Copia» o «Copia tutto» per portare via i risultati.
Come si calcolano varianza e deviazione standard
Prima si calcola la media x̄ = Σx ÷ n, poi la somma dei quadrati degli scarti SQ = Σ(x − x̄)². La varianza della popolazione è σ² = SQ ÷ n e quella campionaria s² = SQ ÷ (n − 1). La deviazione standard è la radice quadrata della varianza: σ = √σ² e s = √s².
Con 2; 4; 4; 4; 5; 5; 7; 9: x̄ = 40 ÷ 8 = 5, gli scarti sono −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2 e 4, i loro quadrati 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4 e 16, quindi SQ = 32, σ² = 32 ÷ 8 = 4, σ = 2, s² = 32 ÷ 7 ≈ 4,571429 e s ≈ 2,13809.
- x: ciascun valore della serie; n: il numero di valori (numerosità).
- x̄ («x segnato»): la media aritmetica; Σ (sigma maiuscola): «somma di».
- x − x̄: lo scarto di un valore dalla media; la somma degli scarti è sempre 0, per questo si elevano al quadrato.
- σ² e σ: varianza e deviazione standard della popolazione (si divide per n), funzioni VAR.P e DEV.ST.P di Excel.
- s² e s: varianza e deviazione standard campionarie (si divide per n − 1, correzione di Bessel), funzioni VAR.C e DEV.ST.C.
- Q1, Q3: primo e terzo quartile, per interpolazione lineare inclusiva (INC.QUARTILE); IQR = Q3 − Q1 è lo scarto interquartile.
- CV = s ÷ |x̄| × 100 (σ in modalità popolazione) ed errore standard = s ÷ √n.
Esempi di calcolo della deviazione standard
Ogni riga è stata ottenuta con il calcolatore qui sopra ed è arrotondata come sullo schermo (al massimo 6 decimali).
| Dati | n | Media x̄ | Mediana | s (n − 1) | σ (n) |
|---|---|---|---|---|---|
| 2; 4; 4; 4; 5; 5; 7; 9 | 8 | 5 | 4,5 | 2,13809 | 2 |
| 10; 12; 23; 23; 16; 23; 21; 16 | 8 | 18 | 18,5 | 5,237229 | 4,898979 |
| 1,5; 2,5; 3,5 | 3 | 2,5 | 2,5 | 1 | 0,816497 |
| 12; 15; 9; 18; 11 | 5 | 13 | 12 | 3,535534 | 3,162278 |
| −3; 0; 2; 5; 1 | 5 | 1 | 1 | 2,915476 | 2,607681 |
| 7 | 1 | 7 | 7 | non definito | 0 |
Prima serie: moda 4 (frequenza 3), Q1 = 4, Q3 = 5,5, campo di variazione 7, CV 42,76%.
A cosa serve la deviazione standard
- Voti e verifiche: confrontare l’omogeneità di due classi con la stessa media o individuare una verifica troppo selettiva.
- Esperienze di laboratorio: riportare misure ripetute come x̄ ± s, oppure come x̄ ± s ÷ √n (l’errore standard) quando conta la precisione della media.
- Controllo qualità: sorvegliare la dispersione di una quota e fissare limiti di controllo a x̄ ± 3σ, come in una carta di controllo di Shewhart.
- Finanza: la volatilità di un’azione o di un fondo è la deviazione standard dei suoi rendimenti, di solito annualizzata.
- Sport, salute e meteo: regolarità dei tuoi tempi di corsa, variabilità della glicemia o delle temperature giornaliere.
Errori frequenti
- Usare σ (divisione per n) su un campione: la dispersione risulta sottostimata, soprattutto se n è piccolo.
- Mescolare le convenzioni: a scuola la varianza si calcola spesso dividendo per n (la σ² di questo strumento), mentre VAR.C e DEV.ST.C di Excel dividono per n − 1.
- Confondere deviazione standard ed errore standard: la prima descrive i dati, il secondo la precisione della media e diminuisce al crescere di n.
- Confrontare varianze come se fossero deviazioni standard: la varianza è in unità al quadrato (cm², €²); solo la deviazione standard si legge nell’unità dei dati.
- Incollare numeri con il separatore delle migliaia: «1.234,5» verrebbe spezzato in due valori e «1.234» letto come 1,234 (il punto è sempre decimale); elimina prima i separatori delle migliaia.
Tutti i calcoli avvengono localmente nel tuo browser: nessun dato viene inviato o salvato. I risultati sono arrotondati a 6 decimali (6 cifre significative per i valori minori di 1), con calcoli in doppia precisione (circa 15 cifre significative); i quartili seguono la convenzione INC.QUARTILE, quindi alcuni manuali possono dare valori leggermente diversi. Con un solo valore la deviazione standard campionaria non è definita.
Domande frequenti
Deviazione standard campionaria o della popolazione: quale usare?
Usa la deviazione standard campionaria s (si divide per n − 1) quando i dati sono una parte di un gruppo più ampio, come 30 studenti di un’intera scuola o 20 pezzi di una produzione. Usa quella della popolazione σ (si divide per n) solo se hai tutti i valori del gruppo studiato. Per 2; 4; 4; 4; 5; 5; 7; 9 si ottiene s ≈ 2,13809 e σ = 2.
Perché si divide per n − 1?
È la correzione di Bessel. La media x̄ è calcolata sugli stessi dati, e la somma dei quadrati degli scarti da x̄ non supera mai quella calcolata rispetto alla vera media della popolazione: dividere per n sottostimerebbe quindi la varianza. Poiché la somma degli scarti da x̄ è sempre 0, solo n − 1 scarti sono liberi (i gradi di libertà). Dividere per n − 1 rende la varianza non distorta; con 8 dati la moltiplica per 8/7 ≈ 1,143, e 4 diventa 4,571429. La deviazione standard s, sua radice quadrata, conserva una distorsione minima, ma è lo stimatore usato ovunque.
Come si interpreta la deviazione standard?
È la distanza tipica di un valore dalla media, nella stessa unità dei dati: più è grande, più i valori sono dispersi. In una distribuzione circa normale (a campana), circa il 68% dei valori cade entro 1 deviazione standard dalla media, il 95% entro 2 e il 99,7% entro 3. Con una media di 7 e una deviazione standard di 1, circa due terzi dei voti sono compresi tra 6 e 8.
Come si calcola la deviazione standard in Excel o con la calcolatrice?
In Excel usa =DEV.ST.C(A2:A21) per un campione (s) e =DEV.ST.P(A2:A21) per l’intera popolazione (σ); le varianze corrispondenti sono VAR.C e VAR.P. Sulla calcolatrice scientifica σx indica di solito la deviazione standard della popolazione e sx quella campionaria. Per verificare, incolla qui la colonna: la virgola decimale viene riconosciuta, quindi «1,5; 2,5; 3,5» o una colonna con questi tre numeri dà media 2,5 e s = 1. Il punto è sempre decimale e ciò che non è un numero compare tra le voci ignorate, senza bloccare il calcolo.
Quale metodo usa per i quartili?
Il metodo inclusivo con interpolazione lineare, lo stesso di INC.QUARTILE di Excel e di NumPy per impostazione predefinita: Q1 si trova in posizione 1 + 0,25 × (n − 1) nella lista ordinata e Q3 in posizione 1 + 0,75 × (n − 1). Per 2; 4; 4; 4; 5; 5; 7; 9 si ha Q1 = 4 e Q3 = 5,5. Molti libri di testo prendono la mediana di ciascuna metà (qui Q3 = 6) e ESC.QUARTILE dà 6,5, quindi piccole differenze tra strumenti sono normali.
A cosa servono il coefficiente di variazione e l’errore standard?
Il coefficiente di variazione (CV = deviazione standard ÷ |media| × 100) esprime la dispersione in percentuale e permette di confrontare serie con unità o scale diverse: per i dati di esempio (media 5, s ≈ 2,13809), CV = 2,13809 ÷ 5 ≈ 42,76%. L’errore standard della media (s ÷ √n) misura la precisione della media stessa: 2,13809 ÷ √8 ≈ 0,755929. Il CV non viene mostrato quando la media vale 0, perché non avrebbe senso.