Калькулятор стандартного отклонения
Стандартное отклонение, дисперсия, среднее, медиана и квартили данных.
- Мгновенно
- Бесплатно
- Приватно (обработка локально)
- Без регистрации
Что такое стандартное отклонение
У двух классов может быть одинаковый средний балл 4,0, и всё же они совсем не похожи: в одном почти у всех четвёрки, в другом оценки от 2 до 5. Среднее ничего не говорит о таком разбросе, а стандартное отклонение (среднеквадратическое отклонение, СКО) его измеряет. Это квадратный корень из дисперсии, то есть (почти точно) из среднего квадратов отклонений от среднего; оно показывает, насколько обычно значения удалены от среднего, и выражается в тех же единицах, что и данные (баллы, сантиметры, рубли, секунды).
Калькулятор сразу выдаёт всю описательную статистику ряда: количество, сумму, среднее, медиану, моду, минимум, максимум, размах, квартили, межквартильный размах, дисперсию и стандартное отклонение (для генеральной совокупности σ и по выборке s), коэффициент вариации и стандартную ошибку. Он пригодится школьникам, изучающим курс «Вероятность и статистика», студентам-психологам, экономистам и биологам, учителям при анализе контрольной, инженерам по качеству и исследователям.
-
Вставьте или введите данные
В поле «Ваши данные» введите числа через запятую, пробел, точку с запятой или с новой строки либо вставьте столбец прямо из Excel. Счётчик «Прочитано значений» показывает, что было распознано.
-
Выберите выборку или совокупность
Режим «Выборка (n − 1)» включён по умолчанию и подходит, когда данные лишь часть группы; «Генеральная совокупность (n)», когда у вас все значения. Главный результат и коэффициент вариации следуют этому выбору.
-
Читайте показатели
Стандартное отклонение выводится крупно вместе с дисперсией, остальные показатели в сетке ниже; диаграмма размаха показывает сами значения, медиану, квартили, среднее и полосу ± 1 СКО.
-
Проверьте решение и скопируйте
Раскройте «Пошаговое решение», чтобы увидеть каждое отклонение от среднего и его квадрат, и нажмите «Копировать» или «Копировать всё», чтобы забрать результаты.
Как найти дисперсию и стандартное отклонение
Сначала находим среднее x̄ = Σx ÷ n, затем сумму квадратов отклонений SS = Σ(x − x̄)². Дисперсия генеральной совокупности σ² = SS ÷ n, исправленная (несмещённая) выборочная дисперсия s² = SS ÷ (n − 1). Стандартное отклонение равно квадратному корню из дисперсии: σ = √σ² и s = √s².
Для 2; 4; 4; 4; 5; 5; 7; 9: x̄ = 40 ÷ 8 = 5, отклонения −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2 и 4, их квадраты 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4 и 16, значит SS = 32, σ² = 32 ÷ 8 = 4, σ = 2, s² = 32 ÷ 7 ≈ 4,571429 и s ≈ 2,13809.
- x: каждое значение ряда; n: число значений (объём).
- x̄ («икс с чертой»): среднее арифметическое; Σ (заглавная сигма): «сумма».
- x − x̄: отклонение значения от среднего; сумма отклонений всегда равна 0, поэтому их возводят в квадрат.
- σ² и σ: дисперсия и СКО генеральной совокупности (деление на n), функции ДИСП.Г и СТАНДОТКЛОН.Г в Excel.
- s² и s: исправленная дисперсия и СКО по выборке (деление на n − 1, поправка Бесселя), функции ДИСП.В и СТАНДОТКЛОН.В.
- Q1, Q3: первый и третий квартили, включающая линейная интерполяция (КВАРТИЛЬ.ВКЛ); IQR = Q3 − Q1, межквартильный размах.
- V = s ÷ |x̄| × 100 (σ в режиме совокупности) и стандартная ошибка = s ÷ √n.
Примеры расчёта стандартного отклонения
Каждая строка получена с помощью калькулятора выше и округлена так же, как на экране (не более 6 знаков после запятой).
| Данные | n | Среднее x̄ | Медиана | s (n − 1) | σ (n) |
|---|---|---|---|---|---|
| 2; 4; 4; 4; 5; 5; 7; 9 | 8 | 5 | 4,5 | 2,13809 | 2 |
| 10; 12; 23; 23; 16; 23; 21; 16 | 8 | 18 | 18,5 | 5,237229 | 4,898979 |
| 1,5; 2,5; 3,5 | 3 | 2,5 | 2,5 | 1 | 0,816497 |
| 12; 15; 9; 18; 11 | 5 | 13 | 12 | 3,535534 | 3,162278 |
| −3; 0; 2; 5; 1 | 5 | 1 | 1 | 2,915476 | 2,607681 |
| 7 | 1 | 7 | 7 | не определено | 0 |
Первый ряд: мода 4 (частота 3), Q1 = 4, Q3 = 5,5, размах 7, V = 42,76 %.
Где применяется стандартное отклонение
- Оценки и экзамены: сравнить однородность двух классов с одинаковым средним или заметить контрольную с очень большим разбросом баллов.
- Лабораторные работы: записать результат повторных измерений как x̄ ± s или, если важна точность среднего, как x̄ ± s ÷ √n (стандартная ошибка).
- Контроль качества: следить за разбросом размера детали и задавать контрольные границы x̄ ± 3σ, как на контрольной карте Шухарта.
- Финансы: волатильность акции или фонда равна стандартному отклонению их доходностей, обычно в пересчёте на год.
- Спорт, здоровье, погода: стабильность ваших результатов в беге, колебания уровня сахара в крови или дневной температуры.
Частые ошибки
- Использовать σ (деление на n) для выборки: разброс занижается, особенно при малом n.
- Смешивать определения: в школьном курсе дисперсию находят делением на n (это σ² в нашем калькуляторе), а функции ДИСП.В и СТАНДОТКЛОН.В в Excel делят на n − 1.
- Путать стандартное отклонение и стандартную ошибку: первое описывает данные, вторая точность среднего и уменьшается с ростом n.
- Сравнивать дисперсии как отклонения: дисперсия измеряется в квадратных единицах (см², руб²), а в единицах данных читается только СКО.
- Вставлять числа с разделителем тысяч («1 234,5» или «1,234.5»): они распадутся на несколько значений, поэтому сначала уберите пробелы или запятые между разрядами.
Все вычисления выполняются локально в вашем браузере: данные никуда не отправляются и не сохраняются. Результаты округляются до 6 знаков после запятой (значения меньше 1 до 6 значащих цифр), вычисления ведутся с двойной точностью (около 15 значащих цифр); квартили считаются по правилу КВАРТИЛЬ.ВКЛ, поэтому в некоторых учебниках значения могут немного отличаться. Для одного значения стандартное отклонение по выборке не определено.
Частые вопросы
Какое отклонение выбрать: по выборке или по генеральной совокупности?
Берите стандартное отклонение по выборке s (деление на n − 1), если данные лишь часть большей группы: 30 учеников из всей школы, 20 деталей из партии. Отклонение генеральной совокупности σ (деление на n) подходит, только когда у вас есть все значения изучаемой группы. Для 2; 4; 4; 4; 5; 5; 7; 9 получаем s ≈ 2,13809 и σ = 2.
Почему делят на n − 1?
Это поправка Бесселя. Среднее x̄ вычисляется по тем же данным, и сумма квадратов отклонений от x̄ никогда не превышает сумму квадратов отклонений от истинного среднего генеральной совокупности, поэтому деление на n занижало бы дисперсию. Кроме того, сумма отклонений от x̄ всегда равна 0, так что свободно меняться могут только n − 1 из них (число степеней свободы). Деление на n − 1 даёт несмещённую оценку дисперсии; при 8 значениях дисперсия умножается на 8/7 ≈ 1,143, и 4 превращается в 4,571429. Само отклонение s, корень из этой дисперсии, остаётся чуть смещённым, но именно эта оценка используется повсеместно.
Как интерпретировать стандартное отклонение?
Это типичное расстояние значения от среднего, в тех же единицах, что и данные: чем оно больше, тем сильнее разброс. Для примерно нормального распределения около 68 % значений лежат в пределах 1 стандартного отклонения от среднего, 95 % в пределах 2 и 99,7 % в пределах 3 (правило трёх сигм). Если средний балл ЕГЭ в группе 70, а стандартное отклонение 10, то примерно две трети учеников набрали от 60 до 80 баллов.
Как посчитать стандартное отклонение в Excel или на калькуляторе?
В Excel для выборки используйте =СТАНДОТКЛОН.В(A2:A21), для генеральной совокупности =СТАНДОТКЛОН.Г(A2:A21); дисперсии считаются функциями ДИСП.В и ДИСП.Г. На инженерном калькуляторе σx обычно означает отклонение совокупности, а sx отклонение по выборке. Чтобы проверить результат, вставьте сюда столбец: десятичные запятые распознаются, поэтому «1,5; 2,5; 3,5» или столбец из этих трёх чисел даёт среднее 2,5 и s = 1. Точка всегда считается десятичным разделителем, а всё, что не является числом, показывается как пропущенный элемент и не ломает расчёт.
Каким методом считаются квартили?
Включающим методом с линейной интерполяцией, как функция КВАРТИЛЬ.ВКЛ в Excel и NumPy по умолчанию: Q1 стоит на позиции 1 + 0,25 × (n − 1) в упорядоченном ряду, Q3 на позиции 1 + 0,75 × (n − 1). Для 2; 4; 4; 4; 5; 5; 7; 9 это даёт Q1 = 4 и Q3 = 5,5. Во многих учебниках берут медиану каждой половины (здесь Q3 = 6), а КВАРТИЛЬ.ИСКЛ даёт 6,5, поэтому небольшие расхождения между программами нормальны.
Зачем нужны коэффициент вариации и стандартная ошибка?
Коэффициент вариации (V = s ÷ |x̄| × 100 %, для генеральной совокупности вместо s берут σ) выражает разброс в процентах и позволяет сравнивать ряды с разными единицами измерения: для данных из примера (среднее 5, s ≈ 2,13809) V = 2,13809 ÷ 5 ≈ 42,76 %. Во многих учебниках статистики совокупность считают однородной, если V не превышает 33 %. Стандартная ошибка среднего (s ÷ √n) показывает точность самого среднего: 2,13809 ÷ √8 ≈ 0,755929. При нулевом среднем коэффициент вариации не выводится, так как теряет смысл.