GGD en KGV berekenen

GGD en KGV online berekenen, met de uitwerking

De grootste gemene deler (GGD) en het kleinste gemene veelvoud (KGV) zijn twee pijlers van de rekenkunde: je leert ze in de onderbouw bij breuken en komt ze later weer tegen in de getaltheorie, samen met het algoritme van Euclides en de identiteit van Bézout. Deze rekenmachine werkt met 2 tot 20 gehele getallen en laat de weg naar het antwoord zien: opeenvolgende delingen, priemfactorontbinding, coëfficiënten van Bézout en de vereenvoudigde breuk.

Wie ze snel kan vinden, vereenvoudigt breuken vlotter, maakt breuken gelijknamig, lost vragen op als ‘wanneer vallen ze weer samen?’ en verdeelt een oppervlak in gelijke vierkanten. Scholieren die oefenen, ouders die huiswerk nakijken, docenten die uitwerkingen maken en programmeurs die met cycli, tandwielen of RSA-sleutels werken krijgen een exact antwoord met de volledige uitwerking.

1. Voer je getallen in

   Typ in het veld ‘Gehele getallen (2 tot 20)’ 2 tot 20 getallen, gescheiden door komma’s, spaties of puntkomma’s, of klik op een van de voorbeelden.

2. Lees GGD en KGV af

   De twee kaarten worden bijgewerkt terwijl je typt; de knop ‘Kopiëren’ zet het getal zonder scheidingstekens op het klembord.

3. Controleer de eigenschappen

   Daaronder zie je of de getallen onderling ondeelbaar zijn (bij drie of meer getallen ook of ze dat paarsgewijs zijn) en, bij twee getallen, de controle GGD × KGV = a × b, de identiteit van Bézout en de vereenvoudigde breuk a/b.

4. Open de uitleg

   ‘Algoritme van Euclides, stap voor stap’ toont elke deling a = q × b + r; ‘Ontbinding in priemfactoren’ toont de kleinste en grootste exponenten.

Zo bereken je GGD en KGV: Euclides en priemfactoren

De tool gebruikt het algoritme van Euclides: deel het grootste getal door het kleinste, a = q × b + r, en herhaal met b en de rest r, want GGD(a, b) = GGD(b, r). De laatste rest die niet 0 is, is de GGD. Het KGV volgt zonder ontbinden: KGV(a, b) = a × b ÷ GGD(a, b).

Bij meer dan twee getallen reken je in een keten: GGD(a, b, c) = GGD(GGD(a, b), c), en zo ook voor het KGV. Het paneel met priemfactoren toont de tweede schoolmethode: schrijf je a = 2α × 3β × …, dan neemt de GGD elke gemeenschappelijke priemfactor met de kleinste exponent en het KGV elke priemfactor die voorkomt met de grootste exponent.

• a en b: het deeltal en de deler op elke regel (het grootste getal eerst).
• q: het gehele quotiënt; r: de rest, altijd tussen 0 en b − 1.
• GGD: het grootste gehele getal waardoor alle getallen deelbaar zijn; KGV: het kleinste positieve getal dat door alle getallen deelbaar is.
• u en v: de coëfficiënten van Bézout, gehele getallen (soms negatief) met u × a + v × b = GGD(a, b), berekend met het uitgebreide algoritme van Euclides.
• α, β…: de exponenten in de ontbinding, bijvoorbeeld 12 = 2² × 3¹.

Voorbeelden: GGD en KGV berekenen

Waarvoor gebruik je GGD en KGV?

• Breuken: 12/18 vereenvoudigen tot 2/3 door te delen door de GGD 6, of 5/12 + 7/18 gelijknamig maken met noemer 36 = KGV(12, 18): 15/36 + 14/36 = 29/36.
• Cycli en dienstregelingen: twee bussen vertrekken samen om 8.00 uur, de ene elke 12 minuten, de andere elke 18; ze vertrekken weer samen om 8.36 uur, na KGV = 36 minuten.
• Zagen en tegelen: om een plaat van 120 cm × 84 cm zonder zaagverlies met zo groot mogelijke vierkanten te bedekken, neem je vierkanten van GGD(120, 84) = 12 cm, dus 10 × 7 = 70 stuks.
• Tandwielen en ritmes: tandwielen met 12 en 18 tanden staan weer in hun beginstand zodra 36 tanden in elkaar gegrepen hebben, dus na 3 omwentelingen van het kleine en 2 van het grote wiel.
• Cryptografie: bij RSA moeten de publieke exponent e en φ(n) onderling ondeelbaar zijn, en de privésleutel d is de inverse van e modulo φ(n), te vinden met Bézout. Met e = 17 en φ(n) = 3.120 toont de tool (−367) × 17 + 2 × 3.120 = 1, dus d = −367 + 3.120 = 2.753; inderdaad is 17 × 2.753 = 15 × 3.120 + 1.

Veelgemaakte fouten

• GGD en KGV verwarren: de GGD is nooit groter dan het kleinste getal en het KGV nooit kleiner dan het grootste. Een ‘GGD’ van 36 voor 12 en 18 is dus zeker fout.
• De getallen vermenigvuldigen om het KGV te krijgen: 12 × 18 = 216, maar het KGV is 36. Het product van twee getallen is alleen hun KGV als ze onderling ondeelbaar zijn (17 × 31 = 527).
• GGD × KGV = product toepassen op drie getallen: voor 8, 12 en 20 is 4 × 120 = 480, terwijl 8 × 12 × 20 = 1.920.
• ‘12,5’ of ‘1.071’ typen: de komma scheidt de lijst en de punt wordt als decimaal gelezen, dus krijg je twee getallen (12 en 5) of een foutmelding. Typ gehele getallen zonder duizendtalscheiding: 1071.

Alle berekeningen gebeuren lokaal in je browser met exacte rekenkunde op gehele getallen (BigInt): er wordt geen enkel getal naar een server gestuurd. Grenzen: 2 tot 20 gehele getallen ongelijk aan nul met maximaal 15 cijfers; de priemfactorontbinding verschijnt alleen als elke priemfactor snel te vinden is (proefdelingen tot 1.000.000, daarna een priemtest).