Calcolo MCD e mcm
MCD e mcm da 2 a 20 numeri, con Euclide passo passo e fattori primi.
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Calcolare MCD e mcm online, con il procedimento
Il massimo comune divisore (MCD) e il minimo comune multiplo (mcm) sono due pilastri dell’aritmetica: si studiano alle medie con le frazioni e tornano nella teoria dei numeri con l’algoritmo di Euclide e l’identità di Bézout. Questo calcolatore accetta da 2 a 20 numeri interi e mostra tutto il procedimento: divisioni successive, scomposizione in fattori primi, coefficienti di Bézout e frazione ridotta ai minimi termini.
Saperli trovare in fretta serve per semplificare le frazioni, sommare frazioni con denominatori diversi, risolvere i problemi del tipo «quando si incontreranno di nuovo?» o dividere una superficie in quadrati uguali. Studenti che si esercitano, genitori che controllano i compiti, insegnanti che preparano le correzioni e programmatori alle prese con cicli, ingranaggi o chiavi RSA ottengono un risultato esatto e tutto il procedimento.
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Inserisci i numeri
Nel campo «Numeri interi (da 2 a 20)» scrivi da 2 a 20 interi separati da virgole, spazi o punti e virgola, oppure clicca su uno degli esempi.
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Le due schede si aggiornano mentre scrivi; il pulsante «Copia» copia il numero senza separatori negli appunti.
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Sotto compare se i numeri sono primi tra loro (e, con tre o più numeri, se lo sono a due a due); per due numeri anche la verifica MCD × mcm = a × b, l’identità di Bézout e la frazione a/b ridotta ai minimi termini.
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Apri le spiegazioni
«Algoritmo di Euclide, passo dopo passo» mostra ogni divisione a = q × b + r; «Scomposizione in fattori primi» indica gli esponenti minimi e massimi.
Come calcolare MCD e mcm: Euclide e fattori primi
Lo strumento applica l’algoritmo di Euclide: divide il numero maggiore per il minore, a = q × b + r, e ripete con b e il resto r, perché MCD(a, b) = MCD(b, r). L’ultimo resto non nullo è il MCD. Il mcm si ricava senza scomporre: mcm(a, b) = a × b ÷ MCD(a, b).
Con più di due numeri si procede a catena: MCD(a, b, c) = MCD(MCD(a, b), c), e lo stesso per il mcm. Il pannello dei fattori primi mostra il metodo imparato a scuola: scrivendo a = 2α × 3β × …, il MCD è il prodotto dei fattori comuni presi con l’esponente minore, il mcm il prodotto dei fattori comuni e non comuni presi con l’esponente maggiore.
aeb: il dividendo e il divisore di ogni riga (prima il numero maggiore).q: il quoziente intero;r: il resto, sempre compreso tra 0 e b − 1.MCD: il più grande intero che divide tutti i numeri;mcm: il più piccolo intero positivo multiplo di tutti.uev: i coefficienti di Bézout, interi (anche negativi) tali cheu × a + v × b = MCD(a, b), ottenuti con l’algoritmo di Euclide esteso.α,β…: gli esponenti della scomposizione, per esempio 12 = 22 × 31.
Esempi di calcolo di MCD e mcm
| Numeri | MCD | mcm | Cosa mostra anche lo strumento |
|---|---|---|---|
12, 18 | 6 | 36 | 6 × 36 = 216 = 12 × 18; Bézout: (−1) × 12 + 1 × 18 = 6; 12/18 = 2/3 |
8, 12, 20 | 4 | 120 | MCD(8, 12) = 4, poi MCD(4, 20) = 4; mcm: 24, poi 120 |
17, 31 | 1 | 527 | Primi tra loro; 11 × 17 + (−6) × 31 = 1 |
1071, 462 | 21 | 23.562 | 3 divisioni; (−3) × 1.071 + 7 × 462 = 21; 1.071/462 = 51/22 |
6, 10, 15 | 1 | 30 | Primi tra loro nel complesso, ma non a due a due (6 e 10 hanno in comune il 2) |
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 | 1 | 223.092.870 | Primi tra loro a due a due: il mcm è il prodotto |
A cosa servono MCD e mcm?
- Frazioni: semplificare 12/18 in 2/3 dividendo per il MCD 6, o sommare 5/12 + 7/18 con il denominatore comune 36 = mcm(12, 18): 15/36 + 14/36 = 29/36.
- Cicli e orari: due autobus partono insieme alle 8:00, uno ogni 12 minuti e l’altro ogni 18; ripartono insieme alle 8:36, dopo mcm = 36 minuti.
- Tagli e piastrelle: per coprire senza sfridi un pannello di 120 cm × 84 cm con i quadrati più grandi possibili, usa quadrati di MCD(120, 84) = 12 cm, cioè 10 × 7 = 70 pezzi.
- Ingranaggi e ritmi: ruote dentate da 12 e 18 denti tornano nella posizione iniziale dopo che sono passati 36 denti, cioè dopo 3 giri della piccola e 2 della grande.
- Crittografia: in RSA l’esponente pubblico e deve essere primo con φ(n) e la chiave privata d è il suo inverso modulo φ(n), che si ricava con Bézout. Con e = 17 e φ(n) = 3.120 lo strumento mostra (−367) × 17 + 2 × 3.120 = 1, da cui d = −367 + 3.120 = 2.753; infatti 17 × 2.753 = 15 × 3.120 + 1.
Errori frequenti
- Confonderli: il MCD non supera mai il numero più piccolo e il mcm non è mai minore del più grande. Per 12 e 18 un «MCD» di 36 è sicuramente sbagliato.
- Moltiplicare i numeri per ottenere il mcm: 12 × 18 = 216, ma il mcm è 36. Il prodotto di due numeri coincide con il loro mcm solo se sono primi tra loro (17 × 31 = 527).
- Usare MCD × mcm = prodotto con tre numeri: per 8, 12 e 20 si ha 4 × 120 = 480, mentre 8 × 12 × 20 = 1.920.
- Scrivere «12,5» o «1.071»: la virgola separa l’elenco e il punto viene letto come decimale, quindi ottieni due numeri (12 e 5) o un messaggio di errore. Scrivi gli interi senza separatore delle migliaia: 1071.
Tutti i calcoli avvengono localmente nel tuo browser con aritmetica intera esatta (BigInt): nessun numero viene inviato a un server. Limiti: da 2 a 20 interi diversi da zero con al massimo 15 cifre; la scomposizione in fattori primi è mostrata solo se ogni fattore primo si trova rapidamente (divisioni fino a 1.000.000, poi un test di primalità).
Domande frequenti
Che differenza c’è tra MCD e mcm?
Il MCD (massimo comune divisore) è il numero più grande che divide tutti i tuoi numeri; il mcm (minimo comune multiplo) è il più piccolo numero positivo che è multiplo di tutti. Per 12 e 18 i divisori comuni sono 1, 2, 3 e 6, quindi il MCD è 6; i multipli comuni sono 36, 72, 108…, quindi il mcm è 36. Il MCD serve a semplificare le frazioni, il mcm a trovare il denominatore comune.
Come funziona l’algoritmo di Euclide?
Si divide il numero maggiore per il minore e si tiene il resto, poi si ripete con il divisore e quel resto finché il resto è 0. Per 1.071 e 462: 1.071 = 2 × 462 + 147, poi 462 = 3 × 147 + 21, infine 147 = 7 × 21 + 0. L’ultimo resto non nullo, 21, è il MCD, trovato in sole 3 divisioni.
Perché MCD × mcm = a × b?
Con due numeri ogni fattore primo compare una volta con l’esponente minore (nel MCD) e una volta con il maggiore (nel mcm), e il prodotto ricostruisce esattamente a × b. Per 12 e 18: 6 × 36 = 216 = 12 × 18. Attenzione: la regola non si estende a tre o più numeri; per 8, 12 e 20 si ha 4 × 120 = 480, mentre 8 × 12 × 20 = 1.920.
Cosa vuol dire primi tra loro?
Due numeri sono primi tra loro (coprimi) quando il loro MCD è 1, come 17 e 31; il loro mcm è allora il prodotto, 527. Con tre o più numeri lo strumento distingue «nel complesso» e «a due a due»: 6, 10 e 15 hanno MCD 1, ma 6 e 10 hanno in comune il fattore 2, quindi il mcm è 30 e non il prodotto 900.
A cosa serve l’identità di Bézout?
Afferma che esistono interi u e v tali che u × a + v × b = MCD(a, b); lo strumento li trova con l’algoritmo di Euclide esteso, per esempio (−1) × 12 + 1 × 18 = 6. Serve a risolvere le equazioni diofantee ax + by = c e a calcolare gli inversi modulari: 11 × 17 + (−6) × 31 = 1 dice che 11 è l’inverso di 17 modulo 31. È proprio così che si calcola la chiave privata in RSA.
Come si calcolano MCD e mcm di tre numeri?
Si procede a catena, due numeri alla volta: MCD(8, 12, 20) = MCD(MCD(8, 12), 20) = MCD(4, 20) = 4 e mcm(8, 12, 20) = mcm(mcm(8, 12), 20) = mcm(24, 20) = 120. Con i fattori primi, da 8 = 2³, 12 = 2² × 3 e 20 = 2² × 5 si ottiene MCD = 2² = 4 e mcm = 2³ × 3 × 5 = 120. Lo strumento accetta fino a 20 interi diversi da zero di al massimo 15 cifre, calcola con BigInt senza arrotondamenti e ignora i segni meno.