Calculateur PGCD et PPCM
PGCD et PPCM de 2 à 20 nombres, avec Euclide, Bézout et facteurs premiers.
- Instantané
- Gratuit
- Privé (traité localement)
- Sans inscription
Calculer le PGCD et le PPCM en ligne, avec la démarche
Le PGCD (plus grand commun diviseur) et le PPCM (plus petit commun multiple) sont deux piliers de l’arithmétique : on les rencontre au collège avec les fractions et la décomposition en facteurs premiers, puis on les retrouve en terminale, dans l’option maths expertes, avec l’algorithme d’Euclide et le théorème de Bézout. Cet outil les calcule pour 2 à 20 entiers et montre comment : divisions successives, décomposition en facteurs premiers, coefficients de Bézout et fraction irréductible.
Savoir les trouver vite sert dès qu’il faut simplifier une fraction, réduire au même dénominateur, résoudre un problème de « prochaine rencontre » ou découper une surface en carrés identiques. Élèves qui révisent, parents qui vérifient un devoir, enseignants qui préparent un corrigé et développeurs qui manipulent des cycles, des engrenages ou des clés RSA y trouvent un résultat exact et la démarche complète à recopier.
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Saisissez vos nombres
Dans le champ « Nombres entiers (de 2 à 20) », tapez 2 à 20 entiers séparés par des virgules, des espaces ou des points-virgules, ou cliquez sur un des exemples.
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Lisez le PGCD et le PPCM
Les deux cartes se mettent à jour pendant la frappe ; le bouton « Copier » place le nombre brut (sans espaces) dans le presse-papiers.
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Contrôlez les propriétés
Sous les cartes : nombres premiers entre eux ou non (et, à partir de trois nombres, deux à deux ou non) ; pour deux nombres, la vérification PGCD × PPCM = a × b, l’identité de Bézout et la fraction a/b irréductible.
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Dépliez les explications
« Algorithme d’Euclide, étape par étape » détaille chaque division a = q × b + r ; « Décomposition en facteurs premiers » montre les exposants minimaux et maximaux.
Comment calculer le PGCD et le PPCM : Euclide et facteurs premiers
L’outil applique l’algorithme d’Euclide : on divise le plus grand nombre par le plus petit, a = q × b + r, puis on recommence avec b et le reste r, car PGCD(a ; b) = PGCD(b ; r). Le dernier reste non nul est le PGCD. Le PPCM s’en déduit sans factoriser : PPCM(a ; b) = a × b ÷ PGCD(a ; b).
Pour plus de deux nombres, on enchaîne : PGCD(a ; b ; c) = PGCD(PGCD(a ; b) ; c), et de même pour le PPCM. Le panneau des facteurs premiers donne la seconde méthode vue en classe : en écrivant a = 2α × 3β × …, le PGCD prend chaque facteur premier commun avec son plus petit exposant, le PPCM prend tous les facteurs premiers avec leur plus grand exposant.
aetb: le dividende et le diviseur de chaque ligne (le plus grand nombre en premier).q: le quotient entier ;r: le reste, toujours compris entre 0 et b − 1.PGCD: le plus grand entier qui divise tous les nombres ;PPCM: le plus petit entier strictement positif divisible par tous.uetv: les coefficients de Bézout, entiers relatifs tels queu × a + v × b = PGCD(a ; b), fournis par l’algorithme d’Euclide étendu.α,β… : les exposants de la décomposition, par exemple 12 = 22 × 31.
Exemples de calcul du PGCD et du PPCM
| Saisie | PGCD | PPCM | Ce que l’outil affiche aussi |
|---|---|---|---|
12, 18 | 6 | 36 | 6 × 36 = 216 = 12 × 18 ; Bézout : (−1) × 12 + 1 × 18 = 6 ; 12/18 = 2/3 |
8, 12, 20 | 4 | 120 | PGCD(8 ; 12) = 4, puis PGCD(4 ; 20) = 4 ; PPCM : 24, puis 120 |
17, 31 | 1 | 527 | Premiers entre eux ; 11 × 17 + (−6) × 31 = 1 |
1071, 462 | 21 | 23 562 | 3 divisions ; (−3) × 1 071 + 7 × 462 = 21 ; 1 071/462 = 51/22 |
6, 10, 15 | 1 | 30 | Premiers entre eux dans leur ensemble, mais pas deux à deux (6 et 10 partagent 2) |
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 | 1 | 223 092 870 | Premiers entre eux deux à deux : le PPCM est le produit |
À quoi servent le PGCD et le PPCM ?
- Fractions : simplifier 12/18 en 2/3 en divisant par le PGCD 6, ou additionner 5/12 + 7/18 sur le dénominateur commun 36 = PPCM(12 ; 18) : 15/36 + 14/36 = 29/36.
- Cycles et horaires : deux bus partent ensemble à 8 h, l’un toutes les 12 min, l’autre toutes les 18 min ; ils repartent ensemble à 8 h 36, après PPCM = 36 min.
- Découpage et carrelage : pour paver sans chute un panneau de 120 cm × 84 cm avec les plus grands carrés possibles, prenez PGCD(120 ; 84) = 12 cm, soit 10 × 7 = 70 carreaux.
- Engrenages et rythmes : deux roues de 12 et 18 dents retrouvent leur position de départ après le passage de 36 dents, soit 3 tours de la petite et 2 tours de la grande.
- Cryptographie : en RSA, l’exposant public e doit être premier avec φ(n), et la clé privée d est son inverse modulo φ(n), obtenu par Bézout. Avec e = 17 et φ(n) = 3 120, l’outil affiche (−367) × 17 + 2 × 3 120 = 1, d’où d = −367 + 3 120 = 2 753 ; en effet, 17 × 2 753 = 15 × 3 120 + 1.
Erreurs fréquentes
- Confondre les deux : le PGCD est toujours inférieur ou égal au plus petit nombre, le PPCM toujours supérieur ou égal au plus grand. Pour 12 et 18, un « PGCD » de 36 est forcément faux.
- Multiplier les nombres pour obtenir le PPCM : 12 × 18 = 216, alors que le PPCM vaut 36. Le produit de deux nombres n’est égal à leur PPCM que s’ils sont premiers entre eux (17 × 31 = 527).
- Appliquer PGCD × PPCM = produit à trois nombres : pour 8, 12 et 20, 4 × 120 = 480 alors que 8 × 12 × 20 = 1 920.
- Écrire « 12,5 » ou « 1 071 » : la virgule et l’espace servent de séparateurs, l’outil lit donc deux nombres (12 et 5, ou 1 et 71). Tapez les entiers sans espace des milliers : 1071.
Tous les calculs sont faits localement dans votre navigateur, en arithmétique entière exacte (BigInt) : aucun nombre n’est envoyé à un serveur. Limites : de 2 à 20 entiers non nuls de 15 chiffres au plus ; la décomposition en facteurs premiers n’est affichée que si chaque facteur premier peut être trouvé rapidement (divisions jusqu’à 1 000 000, puis test de primalité).
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre PGCD et PPCM ?
Le PGCD est le plus grand nombre qui divise tous vos nombres ; le PPCM est le plus petit nombre non nul qui est un multiple de chacun d’eux. Pour 12 et 18, les diviseurs communs sont 1, 2, 3 et 6, donc PGCD = 6 ; les multiples communs non nuls sont 36, 72, 108…, donc PPCM = 36. Le PGCD sert à simplifier une fraction, le PPCM à réduire des fractions au même dénominateur.
Comment fonctionne l’algorithme d’Euclide ?
On divise le plus grand nombre par le plus petit et on garde le reste, puis on recommence avec le diviseur et ce reste jusqu’à obtenir un reste nul. Pour 1 071 et 462 : 1 071 = 2 × 462 + 147, puis 462 = 3 × 147 + 21, puis 147 = 7 × 21 + 0. Le dernier reste non nul, 21, est le PGCD, trouvé en 3 divisions seulement.
Pourquoi PGCD × PPCM = a × b ?
Pour deux nombres, chaque facteur premier apparaît une fois avec son plus petit exposant (dans le PGCD) et une fois avec son plus grand (dans le PPCM), ce qui reconstitue exactement a × b. Pour 12 et 18 : 6 × 36 = 216 = 12 × 18. Attention, la relation ne s’étend pas à trois nombres : pour 8, 12 et 20, 4 × 120 = 480, alors que 8 × 12 × 20 = 1 920.
Que signifie « premiers entre eux » ?
Deux nombres sont premiers entre eux quand leur PGCD vaut 1, comme 17 et 31 ; leur PPCM est alors leur produit, 527. Avec trois nombres ou plus, l’outil distingue « dans leur ensemble » et « deux à deux » : 6, 10 et 15 ont un PGCD de 1, mais 6 et 10 partagent le facteur 2 ; leur PPCM vaut donc 30, et non le produit 900.
À quoi sert l’identité de Bézout ?
Elle affirme qu’il existe des entiers relatifs u et v tels que u × a + v × b = PGCD(a ; b) ; l’outil les calcule par l’algorithme d’Euclide étendu, par exemple (−1) × 12 + 1 × 18 = 6. Elle sert à résoudre les équations ax + by = c et à calculer des inverses modulaires : 11 × 17 + (−6) × 31 = 1 montre que 11 est l’inverse de 17 modulo 31. C’est exactement ainsi que l’on calcule la clé privée en RSA.
Comment calculer le PGCD et le PPCM de trois nombres ?
On procède de proche en proche : PGCD(8 ; 12 ; 20) = PGCD(PGCD(8 ; 12) ; 20) = PGCD(4 ; 20) = 4 et PPCM(8 ; 12 ; 20) = PPCM(PPCM(8 ; 12) ; 20) = PPCM(24 ; 20) = 120. Avec les facteurs premiers, 8 = 2³, 12 = 2² × 3 et 20 = 2² × 5 donnent PGCD = 2² = 4 et PPCM = 2³ × 3 × 5 = 120. L’outil accepte jusqu’à 20 entiers non nuls de 15 chiffres au plus, calcule en BigInt sans aucun arrondi et ignore les signes moins.