Calculadora MDC e MMC
MDC e MMC de 2 a 20 números, com Euclides passo a passo e fatores primos.
- Instantânea
- Grátis
- Privada (processada localmente)
- Sem registo
Calcular o MDC e o MMC online, com a resolução
O máximo divisor comum (MDC) e o mínimo múltiplo comum (MMC) são dois pilares da aritmética: estudam-se no ensino básico com as frações e voltam a aparecer na teoria dos números com o algoritmo de Euclides e a identidade de Bézout. Esta calculadora aceita de 2 a 20 números inteiros e mostra a resolução: divisões sucessivas, decomposição em fatores primos, coeficientes de Bézout e fração irredutível.
Dominá-los poupa tempo ao simplificar frações, somar frações com denominadores diferentes, resolver problemas do tipo «quando voltam a coincidir?» ou dividir uma superfície em quadrados iguais. Alunos que estudam, pais que ajudam nos trabalhos de casa, professores que preparam correções e programadores que lidam com ciclos, engrenagens ou chaves RSA obtêm um resultado exato e a resolução completa.
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Introduza os números
No campo «Números inteiros (de 2 a 20)», escreva de 2 a 20 inteiros separados por vírgulas, espaços ou ponto e vírgula, ou clique num dos exemplos.
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Leia o MDC e o MMC
Os dois cartões atualizam-se enquanto escreve; o botão «Copiar» copia o número sem separadores para a área de transferência.
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Verifique as propriedades
Por baixo aparece se os números são primos entre si (e, a partir de três, se o são dois a dois); para dois números, também a verificação MDC × MMC = a × b, a identidade de Bézout e a fração irredutível a/b.
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Abra as explicações
«Algoritmo de Euclides, passo a passo» mostra cada divisão a = q × b + r; «Decomposição em fatores primos» indica os expoentes mínimos e máximos.
Como calcular o MDC e o MMC: Euclides e fatores primos
A ferramenta aplica o algoritmo de Euclides: divide o maior número pelo menor, a = q × b + r, e repete com b e o resto r, porque MDC(a, b) = MDC(b, r). O último resto não nulo é o MDC. O MMC deduz-se sem fatorizar: MMC(a, b) = a × b ÷ MDC(a, b).
Com mais de dois números encadeia-se: MDC(a, b, c) = MDC(MDC(a, b), c), e o mesmo para o MMC. O painel de fatores primos mostra o método escolar: escrevendo a = 2α × 3β × …, o MDC usa os fatores comuns com o menor expoente e o MMC usa os fatores comuns e não comuns com o maior expoente.
aeb: o dividendo e o divisor de cada linha (primeiro o número maior).q: o quociente inteiro;r: o resto, sempre entre 0 e b − 1.MDC: o maior inteiro que divide todos os números;MMC: o menor inteiro positivo que é múltiplo de todos.uev: os coeficientes de Bézout, inteiros (por vezes negativos) comu × a + v × b = MDC(a, b), obtidos pelo algoritmo de Euclides estendido.α,β…: os expoentes da decomposição, por exemplo 12 = 22 × 31.
Exemplos de cálculo do MDC e do MMC
| Entrada | MDC | MMC | O que a ferramenta também mostra |
|---|---|---|---|
12, 18 | 6 | 36 | 6 × 36 = 216 = 12 × 18; Bézout: (−1) × 12 + 1 × 18 = 6; 12/18 = 2/3 |
8, 12, 20 | 4 | 120 | MDC(8, 12) = 4 e depois MDC(4, 20) = 4; MMC: 24 e depois 120 |
17, 31 | 1 | 527 | Primos entre si; 11 × 17 + (−6) × 31 = 1 |
1071, 462 | 21 | 23.562 | 3 divisões; (−3) × 1.071 + 7 × 462 = 21; 1.071/462 = 51/22 |
6, 10, 15 | 1 | 30 | Primos entre si no conjunto, mas não dois a dois (6 e 10 partilham o 2) |
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 | 1 | 223.092.870 | Primos entre si dois a dois: o MMC é o produto |
Para que servem o MDC e o MMC?
- Frações: simplificar 12/18 para 2/3 dividindo pelo MDC 6, ou somar 5/12 + 7/18 com o denominador comum 36 = MMC(12, 18): 15/36 + 14/36 = 29/36.
- Ciclos e horários: dois autocarros partem juntos às 8h00, um a cada 12 minutos e outro a cada 18; voltam a partir juntos às 8h36, após MMC = 36 minutos.
- Cortes e azulejos: para cobrir sem desperdício uma placa de 120 cm × 84 cm com os maiores quadrados possíveis, use quadrados de MDC(120, 84) = 12 cm, ou seja 10 × 7 = 70 peças.
- Engrenagens e ritmos: rodas dentadas de 12 e 18 dentes voltam à posição inicial depois de engrenarem 36 dentes: 3 voltas da pequena e 2 da grande.
- Criptografia: no RSA o expoente público e tem de ser primo com φ(n), e a chave privada d é o seu inverso módulo φ(n), obtido com Bézout. Com e = 17 e φ(n) = 3.120, a ferramenta mostra (−367) × 17 + 2 × 3.120 = 1, donde d = −367 + 3.120 = 2.753; de facto, 17 × 2.753 = 15 × 3.120 + 1.
Erros frequentes
- Confundi-los: o MDC nunca é maior do que o menor número e o MMC nunca é menor do que o maior. Para 12 e 18, um «MDC» de 36 está necessariamente errado.
- Multiplicar os números para obter o MMC: 12 × 18 = 216, mas o MMC é 36. O produto de dois números só coincide com o MMC quando são primos entre si (17 × 31 = 527).
- Aplicar MDC × MMC = produto a três números: para 8, 12 e 20, 4 × 120 = 480, enquanto 8 × 12 × 20 = 1.920.
- Escrever «12,5» ou «1.071»: a vírgula separa a lista e o ponto é lido como decimal, por isso obtém dois números (12 e 5) ou uma mensagem de erro. Escreva os inteiros sem separador de milhares: 1071.
Todos os cálculos são feitos localmente no seu navegador com aritmética inteira exata (BigInt): nenhum número é enviado para um servidor. Limites: de 2 a 20 inteiros diferentes de zero com até 15 algarismos; a decomposição em fatores primos só é mostrada se cada fator primo puder ser encontrado rapidamente (divisões até 1.000.000 e depois um teste de primalidade).
Perguntas frequentes
Qual é a diferença entre MDC e MMC?
O MDC (máximo divisor comum) é o maior número que divide todos os seus números; o MMC (mínimo múltiplo comum) é o menor número positivo que é múltiplo de todos eles. Para 12 e 18, os divisores comuns são 1, 2, 3 e 6, logo o MDC é 6; os múltiplos comuns são 36, 72, 108…, logo o MMC é 36. O MDC serve para simplificar frações e o MMC para encontrar um denominador comum.
Como funciona o algoritmo de Euclides?
Divide-se o maior número pelo menor e guarda-se o resto; depois repete-se com o divisor e esse resto até o resto ser 0. Para 1.071 e 462: 1.071 = 2 × 462 + 147, depois 462 = 3 × 147 + 21 e por fim 147 = 7 × 21 + 0. O último resto não nulo, 21, é o MDC, obtido em apenas 3 divisões.
Porque é que MDC × MMC = a × b?
Com dois números, cada fator primo aparece uma vez com o menor expoente (no MDC) e outra com o maior (no MMC), o que reconstrói exatamente a × b. Para 12 e 18: 6 × 36 = 216 = 12 × 18. Atenção: a regra não se estende a três ou mais números; para 8, 12 e 20, 4 × 120 = 480, enquanto 8 × 12 × 20 = 1.920.
O que significa serem primos entre si?
Dois números são primos entre si quando o seu MDC é 1, como 17 e 31; o MMC é então o produto dos dois, 527. Com três números ou mais, a ferramenta distingue «no conjunto» e «dois a dois»: 6, 10 e 15 têm MDC 1, mas 6 e 10 partilham o fator 2, por isso o MMC é 30 e não o produto 900.
Para que serve a identidade de Bézout?
Garante que existem inteiros u e v tais que u × a + v × b = MDC(a, b); a ferramenta calcula-os com o algoritmo de Euclides estendido, por exemplo (−1) × 12 + 1 × 18 = 6. Serve para resolver equações diofantinas ax + by = c e para calcular inversos modulares: 11 × 17 + (−6) × 31 = 1 mostra que 11 é o inverso de 17 módulo 31. É exatamente assim que se calcula a chave privada no RSA.
Como se calcula o MDC e o MMC de três números?
Calcula-se em cadeia, juntando um número de cada vez: MDC(8, 12, 20) = MDC(MDC(8, 12), 20) = MDC(4, 20) = 4 e MMC(8, 12, 20) = MMC(MMC(8, 12), 20) = MMC(24, 20) = 120. Com fatores primos, 8 = 2³, 12 = 2² × 3 e 20 = 2² × 5 dão MDC = 2² = 4 e MMC = 2³ × 3 × 5 = 120. A ferramenta aceita até 20 inteiros diferentes de zero com até 15 algarismos, calcula com BigInt sem arredondamentos e ignora os sinais de menos.