Calculadora MCD y mcm
MCD y mcm de 2 a 20 números, con Euclides paso a paso y factores primos.
- Instantánea
- Gratis
- Privada (procesada localmente)
- Sin registro
Calcular el MCD y el mcm en línea, con el procedimiento
El máximo común divisor (MCD) y el mínimo común múltiplo (mcm) son dos pilares de la aritmética: se estudian en primaria y en la ESO con las fracciones, y reaparecen en teoría de números con el algoritmo de Euclides y la identidad de Bézout. Esta calculadora admite de 2 a 20 números enteros y muestra el procedimiento: divisiones sucesivas, descomposición en factores primos, coeficientes de Bézout y fracción irreducible.
Dominarlos ahorra tiempo al simplificar fracciones, sumar fracciones con distinto denominador, resolver problemas de «¿cuándo vuelven a coincidir?» o repartir una superficie en cuadrados iguales. Alumnos que repasan, familias que revisan deberes, docentes que preparan soluciones y programadores que trabajan con ciclos, engranajes o claves RSA obtienen un resultado exacto y el desarrollo completo.
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Escribe tus números
En el campo «Números enteros (de 2 a 20)», escribe de 2 a 20 enteros separados por comas, espacios o punto y coma, o pulsa uno de los ejemplos.
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Lee el MCD y el mcm
Las dos tarjetas se actualizan mientras escribes; el botón «Copiar» copia el número sin separadores al portapapeles.
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Revisa las propiedades
Debajo aparece si los números son primos entre sí (y, con tres o más, si lo son dos a dos); para dos números, también la comprobación MCD × mcm = a × b, la identidad de Bézout y la fracción irreducible a/b.
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Despliega las explicaciones
«Algoritmo de Euclides, paso a paso» muestra cada división a = q × b + r; «Descomposición en factores primos» indica los exponentes mínimos y máximos.
Cómo calcular el MCD y el mcm: Euclides y factores primos
La herramienta aplica el algoritmo de Euclides: divide el número mayor entre el menor, a = q × b + r, y repite con b y el resto r, porque MCD(a, b) = MCD(b, r). El último resto no nulo es el MCD. El mcm se deduce sin factorizar: mcm(a, b) = a × b ÷ MCD(a, b).
Con más de dos números se encadena: MCD(a, b, c) = MCD(MCD(a, b), c), y lo mismo para el mcm. El panel de factores primos ofrece el método escolar: escribiendo a = 2α × 3β × …, el MCD toma los factores comunes con el menor exponente y el mcm los factores comunes y no comunes con el mayor exponente.
ayb: el dividendo y el divisor de cada fila (primero el número mayor).q: el cociente entero;r: el resto, siempre entre 0 y b − 1.MCD: el mayor entero que divide a todos los números;mcm: el menor entero positivo que es múltiplo de todos.uyv: los coeficientes de Bézout, enteros (a veces negativos) conu × a + v × b = MCD(a, b), calculados con el algoritmo de Euclides extendido.α,β…: los exponentes de la descomposición, por ejemplo 12 = 22 × 31.
Ejemplos de cálculo del MCD y el mcm
| Entrada | MCD | mcm | Lo que también muestra la herramienta |
|---|---|---|---|
12, 18 | 6 | 36 | 6 × 36 = 216 = 12 × 18; Bézout: (−1) × 12 + 1 × 18 = 6; 12/18 = 2/3 |
8, 12, 20 | 4 | 120 | MCD(8, 12) = 4 y luego MCD(4, 20) = 4; mcm: 24 y luego 120 |
17, 31 | 1 | 527 | Primos entre sí; 11 × 17 + (−6) × 31 = 1 |
1071, 462 | 21 | 23.562 | 3 divisiones; (−3) × 1071 + 7 × 462 = 21; 1071/462 = 51/22 |
6, 10, 15 | 1 | 30 | Primos entre sí en conjunto, pero no dos a dos (6 y 10 comparten el 2) |
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 | 1 | 223.092.870 | Primos entre sí dos a dos: el mcm es el producto |
¿Para qué sirven el MCD y el mcm?
- Fracciones: simplificar 12/18 a 2/3 dividiendo entre el MCD 6, o sumar 5/12 + 7/18 con el denominador común 36 = mcm(12, 18): 15/36 + 14/36 = 29/36.
- Ciclos y horarios: dos autobuses salen juntos a las 8:00, uno cada 12 minutos y otro cada 18; vuelven a coincidir a las 8:36, tras mcm = 36 minutos.
- Cortes y baldosas: para cubrir sin recortes un tablero de 120 cm × 84 cm con los cuadrados más grandes posibles, usa cuadrados de MCD(120, 84) = 12 cm, es decir 10 × 7 = 70 piezas.
- Engranajes y ritmos: dos ruedas de 12 y 18 dientes vuelven a su posición inicial cuando han engranado 36 dientes: 3 vueltas de la pequeña y 2 de la grande.
- Criptografía: en RSA el exponente público e debe ser coprimo con φ(n), y la clave privada d es su inverso módulo φ(n), que se obtiene con Bézout. Con e = 17 y φ(n) = 3120, la herramienta muestra (−367) × 17 + 2 × 3120 = 1, de donde d = −367 + 3120 = 2753; en efecto, 17 × 2753 = 15 × 3120 + 1.
Errores frecuentes
- Confundirlos: el MCD nunca supera al menor de los números y el mcm nunca es menor que el mayor. Para 12 y 18, un «MCD» de 36 es imposible.
- Multiplicar los números para obtener el mcm: 12 × 18 = 216, pero el mcm es 36. El producto de dos números solo coincide con su mcm si son primos entre sí (17 × 31 = 527).
- Aplicar MCD × mcm = producto con tres números: para 8, 12 y 20, 4 × 120 = 480, mientras que 8 × 12 × 20 = 1920.
- Escribir «12,5» o «1.071»: la coma separa la lista y el punto se toma como decimal, así que se leen dos números (12 y 5) o aparece un error. Escribe los enteros sin separador de miles: 1071.
Todos los cálculos se hacen localmente en tu navegador con aritmética entera exacta (BigInt): ningún número se envía a un servidor. Límites: de 2 a 20 enteros distintos de cero de hasta 15 cifras; la descomposición en factores primos solo se muestra si cada factor primo se encuentra rápido (divisiones hasta 1.000.000 y luego un test de primalidad).
Preguntas frecuentes
¿Qué diferencia hay entre MCD y mcm?
El MCD (máximo común divisor) es el mayor número que divide a todos tus números; el mcm (mínimo común múltiplo) es el menor número positivo que es múltiplo de todos ellos. Para 12 y 18, los divisores comunes son 1, 2, 3 y 6, así que el MCD es 6; los múltiplos comunes son 36, 72, 108…, así que el mcm es 36. El MCD sirve para simplificar fracciones y el mcm para buscar un denominador común.
¿Cómo funciona el algoritmo de Euclides?
Se divide el número mayor entre el menor y se guarda el resto; luego se repite con el divisor y ese resto hasta que el resto sea 0. Para 1071 y 462: 1071 = 2 × 462 + 147, después 462 = 3 × 147 + 21 y por último 147 = 7 × 21 + 0. El último resto no nulo, 21, es el MCD, obtenido en solo 3 divisiones.
¿Por qué MCD × mcm = a × b?
Con dos números, cada factor primo aparece una vez con su menor exponente (en el MCD) y otra con su mayor exponente (en el mcm), lo que reconstruye exactamente a × b. Para 12 y 18: 6 × 36 = 216 = 12 × 18. Ojo: la relación no se extiende a tres números o más; para 8, 12 y 20, 4 × 120 = 480, mientras que 8 × 12 × 20 = 1920.
¿Qué significa que sean primos entre sí?
Dos números son primos entre sí (coprimos) cuando su MCD es 1, como 17 y 31; su mcm es entonces su producto, 527. Con tres números o más, la herramienta distingue «en conjunto» y «dos a dos»: 6, 10 y 15 tienen un MCD de 1, pero 6 y 10 comparten el factor 2, así que su mcm es 30 y no el producto 900.
¿Para qué sirve la identidad de Bézout?
Afirma que existen enteros u y v tales que u × a + v × b = MCD(a, b); la herramienta los obtiene con el algoritmo de Euclides extendido, por ejemplo (−1) × 12 + 1 × 18 = 6. Sirve para resolver ecuaciones diofánticas ax + by = c y para calcular inversos modulares: 11 × 17 + (−6) × 31 = 1 indica que 11 es el inverso de 17 módulo 31. Así es precisamente como se calcula la clave privada en RSA.
¿Cómo se calcula el MCD y el mcm de tres números?
Se van tomando de dos en dos: MCD(8, 12, 20) = MCD(MCD(8, 12), 20) = MCD(4, 20) = 4 y mcm(8, 12, 20) = mcm(mcm(8, 12), 20) = mcm(24, 20) = 120. Con factores primos, 8 = 2³, 12 = 2² × 3 y 20 = 2² × 5 dan MCD = 2² = 4 y mcm = 2³ × 3 × 5 = 120. La herramienta admite hasta 20 enteros distintos de cero de hasta 15 cifras, calcula con BigInt sin redondeos e ignora los signos menos.