Decomposição em fatores primos

Decompor um número em fatores primos e saber se é primo

Todo o inteiro maior ou igual a 2 escreve-se como produto de números primos de uma única forma, a menos da ordem dos fatores: é o teorema fundamental da aritmética. 360 = 2³ × 3² × 5, 1.001 = 7 × 11 × 13, e 97 não se decompõe de todo: é primo. Esta calculadora dá a decomposição, diz de imediato se o número é primo ou composto e mostra a tabela das divisões sucessivas tal como se faz na aula.

A decomposição é a chave de muitos cálculos: simplificar frações, encontrar o MDC ou o MMC, contar divisores, simplificar raízes quadradas. Serve a alunos do 2.º e 3.º ciclos e do secundário, a professores que preparam fichas, a quem se prepara para provas e olimpíadas de matemática, e a todos os curiosos de criptografia: a segurança do RSA assenta na dificuldade de fatorizar números muito grandes.

1. Escreva o número

   Introduza um inteiro em «Número inteiro a decompor» (a partir de 2, até 18 algarismos). Os espaços e separadores de milhares são ignorados, por isso 600 851 475 143 funciona tal como está. Os botões de «Experimente:» carregam exemplos prontos.

2. Leia o veredicto

   A etiqueta indica «Número primo» ou «Não é primo: número composto», e a seguir surge a decomposição com expoentes (360 = 2³ × 3² × 5) e a forma desenvolvida. O botão «Copiar» guarda 2^3 × 3^2 × 5 na área de transferência.

3. Explore as propriedades

   Os cartões de «Propriedades aritméticas» mostram τ(n), σ(n), φ(n), o número de fatores primos distintos ω(n) e com multiplicidade Ω(n), se n é um quadrado perfeito, a soma dos divisores próprios e os primos anterior e seguinte (até 10¹²).

4. Confirme à mão

   A tabela «Divisões sucessivas» repete cada passo (360 ÷ 2 = 180…) até ao quociente 1, e «Todos os divisores» lista os divisores por ordem crescente, com os primos destacados.

O método: teorema fundamental e fórmulas

Para um inteiro n ≥ 2, a decomposição escreve-se n = p1a1 × p2a2 × … × pkak. Obtém-se dividindo pelo menor fator primo enquanto for possível; basta testar divisores até √n, porque um número composto tem sempre um fator primo menor ou igual à sua raiz quadrada.

Para números grandes, a ferramenta encadeia três etapas: divisão pelos primos até 10.000, teste de Miller-Rabin determinístico para reconhecer os primos e algoritmo rho de Pollard (variante de Brent) para partir os cofatores compostos. Todos os cálculos usam inteiros exatos, sem arredondamentos.

• p₁ < p₂ < … < p_k: os fatores primos distintos por ordem crescente; a sua quantidade escreve-se ω(n).
• a_i: o expoente (a multiplicidade) de p_i; a soma a₁ + … + a_k é Ω(n), o número de fatores contados com repetição.
• τ(n) = (a₁ + 1)(a₂ + 1)…(a_k + 1): o número de divisores, porque cada divisor escolhe para cada p_i um expoente entre 0 e a_i.
• σ(n) = ∏ (p_i^a_i+1 − 1) / (p_i − 1): a soma de todos os divisores; s(n) = σ(n) − n indica se o número é perfeito, abundante ou deficiente.
• φ(n) = n × ∏ (1 − 1/p_i): a função totiente de Euler, isto é, quantos inteiros de 1 a n são primos entre si com n.
• Quadrado perfeito: n é um quadrado se e só se todos os a_i forem pares; então √n = ∏ p_i^a_i/2, por exemplo √1.024 = 2⁵ = 32.

Exemplos de decomposição em fatores primos

Para que serve a decomposição em fatores primos?

• Simplificar frações: 84/360 = (2² × 3 × 7)/(2³ × 3² × 5) = 7/30, depois de cortar os fatores comuns 2² × 3 = 12.
• Encontrar um denominador comum: o MMC de 360 e 84 é 2.520, o menor denominador comum para somar 1/360 e 1/84.
• Simplificar raízes quadradas: √360 = √(2² × 3² × 10) = 2 × 3 × √10 = 6√10: cada par de fatores iguais sai da raiz.
• Contar e listar divisores: útil em problemas de partilha (dispor 360 cadeiras em filas iguais: 24 disposições filas × colunas possíveis) e nos trabalhos de casa.
• Criptografia e desafios: o RSA assenta na dificuldade de fatorizar; o famoso problema 3 do Project Euler pede o maior fator primo de 600.851.475.143, que é 6.857.

Erros frequentes

• Dividir por um número que não é primo: dividir 360 por 4 ou por 6 dá um quociente certo mas uma decomposição incompleta; só se divide por 2, 3, 5, 7, 11, 13…
• Considerar o 1 primo: o 1 tem um único divisor e nunca aparece numa decomposição.
• Confundir 2³ com 2 × 3: 2³ = 2 × 2 × 2 = 8, enquanto 2 × 3 = 6; o expoente conta as repetições do fator.
• Julgar primo um número só porque «parece»: 51 = 3 × 17, 91 = 7 × 13 e 1.001 = 7 × 11 × 13 são compostos; teste sempre até à raiz quadrada.

Todos os cálculos são feitos localmente no seu navegador, com aritmética inteira exata (BigInt): nenhum número é enviado ou guardado. Limites: 18 algarismos no máximo; os primos vizinhos são mostrados até 10¹², a lista de divisores até 1.000 divisores e a tabela de divisões até 40 fatores primos contados com multiplicidade.