Descomposición en factores primos

Descomponer un número en factores primos y saber si es primo

Todo entero mayor o igual que 2 se escribe como producto de números primos de una única manera, salvo el orden de los factores: es el teorema fundamental de la aritmética. 360 = 2³ × 3² × 5, 1001 = 7 × 11 × 13, y 97 no se puede descomponer: es primo. Esta calculadora da la descomposición, indica al instante si el número es primo o compuesto y muestra la tabla de divisiones sucesivas tal como se hace en clase.

La descomposición es la clave de muchos cálculos: simplificar fracciones, hallar el MCD o el mcm, contar divisores, simplificar raíces cuadradas. La usan alumnos de primaria y de la ESO, profesores que preparan ejercicios, opositores y participantes en olimpiadas matemáticas, y a cualquier persona interesada en la criptografía: la seguridad de RSA se basa en lo difícil que es factorizar números muy grandes.

1. Escribe el número

   Introduce un entero en «Número entero a descomponer» (a partir de 2, hasta 18 cifras). Se ignoran los espacios y los separadores de miles, así que 600.851.475.143 funciona tal cual. Los botones de «Prueba:» cargan ejemplos listos.

2. Lee el veredicto

   La etiqueta indica «Número primo» o «No es primo: número compuesto», y después aparece la descomposición con exponentes (360 = 2³ × 3² × 5) y su forma desarrollada. El botón «Copiar» guarda 2^3 × 3^2 × 5 en el portapapeles.

3. Explora las propiedades

   Las tarjetas de «Propiedades aritméticas» muestran τ(n), σ(n), φ(n), el número de factores primos distintos ω(n) y con multiplicidad Ω(n), si n es un cuadrado perfecto, la suma de divisores propios y los primos anterior y siguiente (hasta 10¹²).

4. Compruébalo a mano

   La tabla «Divisiones sucesivas» repite cada paso (360 ÷ 2 = 180…) hasta el cociente 1, y «Todos los divisores» lista los divisores en orden creciente, con los primos resaltados.

El método: teorema fundamental y fórmulas

Para un entero n ≥ 2, la descomposición se escribe n = p1a1 × p2a2 × … × pkak. Se obtiene dividiendo entre el menor factor primo mientras se pueda; basta con probar divisores hasta √n, porque un número compuesto siempre tiene un factor primo menor o igual que su raíz cuadrada.

Con números grandes, la herramienta encadena tres etapas: división entre los primos hasta 10.000, test de Miller-Rabin determinista para reconocer los primos y algoritmo rho de Pollard (variante de Brent) para romper los cofactores compuestos. Todos los cálculos usan enteros exactos, sin redondeos.

• p₁ < p₂ < … < p_k: los factores primos distintos en orden creciente; su cantidad se escribe ω(n).
• a_i: el exponente (la multiplicidad) de p_i; la suma a₁ + … + a_k es Ω(n), el número de factores contados con repetición.
• τ(n) = (a₁ + 1)(a₂ + 1)…(a_k + 1): el número de divisores, porque cada divisor elige para cada p_i un exponente entre 0 y a_i.
• σ(n) = ∏ (p_i^a_i+1 − 1) / (p_i − 1): la suma de todos los divisores; s(n) = σ(n) − n indica si el número es perfecto, abundante o deficiente.
• φ(n) = n × ∏ (1 − 1/p_i): la función φ de Euler, el número de enteros de 1 a n coprimos con n.
• Cuadrado perfecto: n es un cuadrado si y solo si todos los a_i son pares; entonces √n = ∏ p_i^a_i/2, por ejemplo √1024 = 2⁵ = 32.

Ejemplos de descomposición en factores primos

¿Para qué sirve la descomposición en factores primos?

• Simplificar fracciones: 84/360 = (2² × 3 × 7)/(2³ × 3² × 5) = 7/30, tras tachar los factores comunes 2² × 3 = 12.
• Encontrar un denominador común: el mcm de 360 y 84 es 2520, el mínimo común denominador para sumar 1/360 y 1/84.
• Simplificar raíces cuadradas: √360 = √(2² × 3² × 10) = 2 × 3 × √10 = 6√10: cada pareja de factores iguales sale de la raíz.
• Contar y listar divisores: útil en problemas de reparto (colocar 360 sillas en filas iguales: 24 disposiciones filas × columnas posibles) y en los ejercicios de la ESO.
• Criptografía y retos: RSA se basa en la dificultad de factorizar; el famoso problema 3 del Project Euler pide el mayor factor primo de 600.851.475.143, que es 6857.

Errores frecuentes

• Dividir entre un número que no es primo: dividir 360 entre 4 o entre 6 da un cociente correcto pero una descomposición incompleta; solo se divide entre 2, 3, 5, 7, 11, 13…
• Considerar primo el 1: el 1 tiene un único divisor y nunca aparece en una descomposición.
• Confundir 2³ con 2 × 3: 2³ = 2 × 2 × 2 = 8, mientras que 2 × 3 = 6; el exponente cuenta las repeticiones del factor.
• Creer primo un número que «lo parece»: 51 = 3 × 17, 91 = 7 × 13 y 1001 = 7 × 11 × 13 son compuestos; prueba siempre hasta la raíz cuadrada.

Todos los cálculos se hacen localmente en tu navegador, con aritmética entera exacta (BigInt): ningún número se envía ni se guarda. Límites: 18 cifras como máximo; los primos vecinos se muestran hasta 10¹², la lista de divisores hasta 1000 divisores y la tabla de divisiones hasta 40 factores primos contados con multiplicidad.