Décomposition en facteurs premiers

Décomposer un nombre en facteurs premiers et savoir s’il est premier

Tout entier supérieur ou égal à 2 s’écrit de façon unique, à l’ordre des facteurs près, comme un produit de nombres premiers : c’est le théorème fondamental de l’arithmétique. 360 = 2³ × 3² × 5, 1 001 = 7 × 11 × 13, et 97 ne se décompose pas du tout : il est premier. Cet outil donne la décomposition, dit immédiatement si le nombre est premier ou composé, et affiche le tableau des divisions successives tel qu’on le pose au collège.

La décomposition est la clé de nombreux calculs : simplifier une fraction, trouver un PGCD ou un PPCM, dénombrer les diviseurs, simplifier une racine carrée. Elle sert aux élèves de cycle 4 et de seconde, aux enseignants qui préparent leurs exercices, aux candidats au brevet et aux concours, mais aussi aux curieux de cryptographie : la sécurité de RSA repose sur la difficulté de factoriser de très grands nombres.

1. Saisissez le nombre

   Tapez un entier dans « Nombre entier à décomposer » (à partir de 2, jusqu’à 18 chiffres). Les espaces et séparateurs de milliers sont ignorés : 600 851 475 143 fonctionne tel quel. Les boutons « Essayez : » chargent des exemples prêts à l’emploi.

2. Lisez le verdict

   L’étiquette indique « Nombre premier » ou « Pas premier : nombre composé », puis la décomposition s’affiche avec ses exposants (360 = 2³ × 3² × 5) et sa forme développée. Le bouton « Copier » place 2^3 × 3^2 × 5 dans le presse-papiers.

3. Explorez les propriétés

   Le bloc « Propriétés arithmétiques » donne τ(n), σ(n), φ(n), le nombre de facteurs premiers distincts ω(n) ou comptés avec multiplicité Ω(n), si n est un carré parfait, la somme des diviseurs stricts, ainsi que les nombres premiers précédent et suivant (jusqu’à 10¹²).

4. Vérifiez à la main

   Le tableau « Divisions successives » reprend chaque étape (360 ÷ 2 = 180…) jusqu’au quotient 1, et « Tous les diviseurs » liste les diviseurs dans l’ordre croissant, les diviseurs premiers étant mis en évidence.

La méthode : théorème fondamental et formules

Pour un entier n ≥ 2, la décomposition s’écrit n = p1a1 × p2a2 × … × pkak. On l’obtient en divisant par le plus petit facteur premier tant que c’est possible ; il suffit de tester les diviseurs jusqu’à √n, car un nombre composé possède toujours un facteur premier inférieur ou égal à sa racine carrée.

Pour les grands nombres, l’outil enchaîne trois étapes : divisions par les nombres premiers jusqu’à 10 000, test de Miller-Rabin déterministe pour reconnaître les premiers, puis algorithme rho de Pollard (variante de Brent) pour scinder les cofacteurs composés. Tous les calculs sont faits en entiers exacts, sans arrondi.

• p₁ < p₂ < … < p_k : les facteurs premiers distincts, rangés par ordre croissant ; leur nombre est noté ω(n).
• a_i : l’exposant (la multiplicité) de p_i ; la somme a₁ + … + a_k est Ω(n), le nombre de facteurs comptés avec répétition.
• τ(n) = (a₁ + 1)(a₂ + 1)…(a_k + 1) : le nombre de diviseurs, car un diviseur choisit pour chaque p_i un exposant entre 0 et a_i.
• σ(n) = ∏ (p_i^a_i+1 − 1) / (p_i − 1) : la somme de tous les diviseurs ; s(n) = σ(n) − n indique si le nombre est parfait, abondant ou déficient.
• φ(n) = n × ∏ (1 − 1/p_i) : l’indicatrice d’Euler, c’est-à-dire le nombre d’entiers de 1 à n premiers avec n.
• Carré parfait : n est un carré si et seulement si tous les a_i sont pairs ; alors √n = ∏ p_i^a_i/2, par exemple √1 024 = 2⁵ = 32.

Exemples de décomposition en facteurs premiers

À quoi sert la décomposition en facteurs premiers ?

• Simplifier une fraction : 84/360 = (2² × 3 × 7)/(2³ × 3² × 5) = 7/30, une fois barrés les facteurs communs 2² × 3 = 12.
• Trouver un dénominateur commun : le PPCM de 360 et 84 vaut 2 520, le plus petit dénominateur commun pour additionner 1/360 et 1/84.
• Simplifier une racine carrée : √360 = √(2² × 3² × 10) = 2 × 3 × √10 = 6√10 : chaque paire de facteurs identiques sort de la racine.
• Dénombrer et lister les diviseurs : utile pour les problèmes de partage (24 dispositions lignes × colonnes possibles pour ranger 360 chaises en rangées égales) et les exercices du brevet.
• Cryptographie et défis : RSA repose sur la difficulté de factoriser ; le célèbre problème 3 du Project Euler demande le plus grand facteur premier de 600 851 475 143, soit 6 857.

Erreurs fréquentes

• Diviser par un nombre non premier : diviser 360 par 4 ou par 6 donne un quotient juste mais une décomposition incomplète ; on ne divise que par 2, 3, 5, 7, 11, 13…
• Considérer 1 comme premier : 1 n’a qu’un seul diviseur et n’apparaît jamais dans une décomposition.
• Confondre 2³ et 2 × 3 : 2³ = 2 × 2 × 2 = 8, alors que 2 × 3 = 6 ; l’exposant compte les répétitions du facteur.
• Croire premier un nombre « qui en a l’air » : 51 = 3 × 17, 91 = 7 × 13 et 1 001 = 7 × 11 × 13 sont composés ; testez toujours jusqu’à la racine carrée.

Tous les calculs sont effectués localement dans votre navigateur, en arithmétique entière exacte (BigInt) : aucun nombre n’est envoyé ni enregistré. Limites : 18 chiffres maximum ; les nombres premiers voisins sont affichés jusqu’à 10¹², la liste des diviseurs jusqu’à 1 000 diviseurs et le tableau des divisions jusqu’à 40 facteurs premiers comptés avec multiplicité.